Resolva pelo Método de Newton, com \varepsilon=10^{-3}, os sistemas a seguir.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{3}+2 x_{2}+x_{3}=4 \\\\ 2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4 x_{3}=-1 \\\\ 3 x_{1}^{2}-4 x_{2}+x_{3}=0\end{array}\right. com \mathrm{x}^{0}=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva, pelo Método de Newton, o sistema
\begin{cases} x_{1}^{3}+2 x_{2}+x_{3}=4,\\[4pt] 2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4 x_{3}=-1,\\[4pt] 3 x_{1}^{2}-4 x_{2}+x_{3}=0, \end{cases}
usando a aproximação inicial \mathrm{x}^{0}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix} e tolerância \varepsilon=10^{-3}.
Informações dadas:
\mathrm{x}^{0}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad \varepsilon=10^{-3},
e o sistema de três equações não lineares mostrado acima.
O que é pedido:
  • Aplicar o Método de Newton para sistemas até atingir a precisão indicada (ou detectar que já temos a solução).]

Passo 2

Defino a função vetor \,F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, cujas componentes são as desigualdades colocadas no formato F(x)=0. Assim,
F(x)=\begin{pmatrix} f_1(x)\\[4pt] f_2(x)\\[4pt] f_3(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1^3+2x_2+x_3-4\\[4pt] 2x_1^2+x_2^2-4x_3+1\\[4pt] 3x_1^2-4x_2+x_3 \end{pmatrix}.
Explicando: para passar o sistema para F(x)=0 eu subtraí o lado direito de cada equação (por exemplo, x_1^3+2x_2+x_3-4=0).
O Jacobiano J(x) é a matriz das derivadas parciais \partial f_i/\partial x_j. Vou calcular cada entrada:
J(x)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_1}{\partial x_3}\\[4pt] \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_3}\\[4pt] \frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3}{\partial x_3} \end{pmatrix}.
Calculando as derivadas:
  • \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}=3x_1^2,\quad \frac{\partial f_1}{\partial x_2}=2,\quad \frac{\partial f_1}{\partial x_3}=1.
  • \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1}=4x_1,\quad \frac{\partial f_2}{\partial x_2}=2x_2,\quad \frac{\partial f_2}{\partial x_3}=-4.
  • \displaystyle \frac{\partial f_3}{\partial x_1}=6x_1,\quad \frac{\partial f_3}{\partial x_2}=-4,\quad \frac{\partial f_3}{\partial x_3}=1.
Portanto
J(x)=\begin{pmatrix} 3x_1^2 & 2 & 1\\[4pt] 4x_1 & 2x_2 & -4\\[4pt] 6x_1 & -4 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Relembre o Método de Newton para sistemas: a iteração parte de x^k e resolve o sistema linear
J(x^k)\,s^k = -F(x^k),
obtendo o incremento s^k, e então atualiza-se
x^{k+1}=x^k+s^k.
Critério de parada: eu escolho parar quando a norma infinita do incremento ficar menor que \varepsilon, isto é quando
\|s^k\|_\infty=\max_{i}|s^k_i|<\varepsilon.
Observação importante: se em alguma iteração F(x^k)=0 então já temos a solução exata e s^k=0, portanto o método para imediatamente.

Passo 4

Avalio F em \mathrm{x}^0=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Calculemos cada componente com contas passo a passo:
f_1(1,1,1)=1^3+2\cdot1+1-4=1+2+1-4=0.
f_2(1,1,1)=2\cdot1^2+1^2-4\cdot1+1=2+1-4+1=0.
f_3(1,1,1)=3\cdot1^2-4\cdot1+1=3-4+1=0.
Logo
F(\mathrm{x}^0)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como F(\mathrm{x}^0)=0, a condição de raiz já está satisfeita no chute inicial. Pelo procedimento do Método de Newton, o sistema linear a resolver seria
J(\mathrm{x}^0)\,s^0 = -F(\mathrm{x}^0)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Calculo o Jacobiano em \mathrm{x}^0 só para completar a explicação:
J(\mathrm{x}^0)=\begin{pmatrix} 3\cdot1^2 & 2 & 1\\[4pt] 4\cdot1 & 2\cdot1 & -4\\[4pt] 6\cdot1 & -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\[4pt] 4 & 2 & -4\\[4pt] 6 & -4 & 1 \end{pmatrix}.
Mas como o lado direito é o vetor zero, a única atualização compatível (assumindo unicidade) é s^0=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}. Então
\|s^0\|_\infty=0<\varepsilon,
ou seja, a condição de parada é atingida já na iteração inicial.]

Passo 6

Concluo que \mathrm{x}^0 já é uma solução exata do sistema. Não há necessidade de iterar mais: o Método de Newton “converge” imediatamente porque começamos em uma raiz.
Vou escrever a solução final de forma clara.

Resposta

\displaystyle \mathrm{x}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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