Considere a função densidade de probabilidade conjunta f(x, y)= Axy com 0, e f(x, y)=0 fora destes intervalos. Calcule:
P(X<2 mid Y=1);

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado diz: temos uma densidade conjunta
f(x,y)=A,x,ypara 0
e zero fora daí. A questão pede a probabilidade condicional
P(X<2mid Y=1)
Conteúdo: probabilidade condicional em variáveis contínuas.
O que vamos precisar:
  1. Achar a constante de normalização usando .
  2. Calcular a densidade marginal de , .
  3. Montar a densidade condicional .
  4. Integrar de até .

Passo 2

Normalização da densidade. A ideia é garantir que
integral dupla0
Fazendo a integral:
integralx=0^4!integraly=0^3 A,x,y,dy,dx = Aintegral0^4 xl[integral0^3 y,dyr]dx = Aintegral0^4 xcdot3^22,dx = Acdot92integral0^4 x,dx = Acdot92cdot4^22 = Acdot92cdot162 = Acdot36
Portanto A=136 , logo

Passo 3

Marginal de fY(y)=integralx=0^4 f(x,y),dx =integral0^4 136,x,y,dx = y36integral0^4 x,dx = y36cdot4^22 = y36cdot8 =8y36 =2y9 . Para definir a condicional, precisamos de
fY(1)=2cdot19=29
Em particular, em :

Passo 4

Densidade condicional de fXmid Y(xmid1) =f(x,1)fY(1) =136,xcdot12/9 =x/362/9 =x36cdot92 =9x72 =x8, dado vem da definição
válida para .

Passo 5

Agora é só integrar essa condicional de P(X<2mid Y=1) =integral0^2fXmid Y(xmid1),dx =integral0^2 x8,dx =18cdot2^22 =18cdot2 =28 =14 até :

Resposta

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