Considere a função densidade de probabilidade conjunta f(x, y)= Axy com 0, e f(x, y)=0 fora destes intervalos. Calcule:
a distribuição de probabilidade condicional de Y dado que X=3;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade conjunta
f(x,y)=A,x,ypara 0
e zero fora disso. A pergunta é: “Qual é a distribuição condicional de fY|X(ymid x)=f(x,y)fX(x) dado que ?”
Conteúdo: densidade de probabilidade conjunta, densidade marginal e densidade condicional.
O que vamos precisar:
1. Encontrar a constante de normalização para que .
2. Calcular a densidade marginal .
3. Usar a fórmula da densidade condicional

Passo 2

Encontrar 1=integral duplasubstack0 via normalização. Por definição,
A=136
Logo, e

Passo 3

Calcular a densidade marginal de fX(3)=integral0^3f(3,y),dy =integral0^3136,l(3,yr),dy =336integral0^3y,dy =112cdot3^22 =112cdot92 =924 =38 em :

Passo 4

Aplicar a definição de densidade condicional:
fYmid X(ymid 3) =f(3,y)fX(3) =136,(3,y)tfrac38 =3y36cdot83 =y12cdot83 =8y36 =2y9,
para , e zero fora desse intervalo.

Resposta

boxedfYmid X(ymid 3)= dfrac2y9,&0á

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