Considere a função densidade de probabilidade conjunta f(x, y)= Axy com 0, e f(x, y)=0 fora destes intervalos. Calcule:
a distribuição de probabilidade marginal de Y;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma função densidade conjunta de duas variáveis aleatórias f(x,y) = A,x,y para 0 e , dada por
e zero fora. A gente precisa achar a distribuição marginal de , ou seja, a densidade de sozinha.
Conteúdo envolvido: funções densidade conjuntas e marginais, e integração para normalização. Vamos precisar lembrar que
  1. A constante é determinada impondo .
  2. A distribuição marginal de é .

Passo 2

Primeiro passo prático: achar integral dupla0 usando a condição
integraly=0^3!integralx=0^4 A,x,y ,dx,dy = A integral0^3 l(y!integral0^4 x,dxr) dy = A integral0^3 l(ycdot tfrac4^22r) dy = A integral0^3 8y ,dy = A ,l[4y^2r]0^3 = A cdot 4cdot 9 = 36A
Então fazemos a integral em 36A = 1 Longrightarrow A = 136 e :
Como isso tem que dar 1, vem

Passo 3

Agora que temos fY(y) = integral-infty^infty f(x,y),dx = integral0^4 136,x,y ,dx, , vamos achar a marginal de fY(y) = y36integral0^4 x,dx = y36cdot 4^22 = y36cdot 8 = 8y36 = 2y9, :
já que fora de a densidade é zero. Então
válido para .

Resposta

boxed fY(y) = 2y9, & 0á

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