Considere a função densidade de probabilidade conjunta f(x, y)= Axy com 0, e f(x, y)=0 fora destes intervalos. Calcule:
E(Y);

Passo 1

Beleza, aqui o problema diz que a gente tem uma densidade de probabilidade conjunta
f(x,y)=A,x,ypara 0
e zero fora disso. A matéria envolvida é distribuição de probabilidade contínua, mais especificamente:
1) Normalizar a densidade para achar a constante A.
2) Obter a densidade marginal de Y.
3) Calcular E(Y) usando a definição de valor esperado.
Vamos precisar de integração dupla e simples e do conceito de densidade marginal e esperança.

Passo 2

Primeiro, normalizar para achar A. A condição é
integral duplasuportef(x,y),dx,dy=1
Isso vira
integraly=0^3!integralx=0^4A,x,y,dx,dy =1
Calculemos a parte de x e de y separadamente:
$$\int_{x=0}^{4}x,dx = \frac{4^2}{2}=8,\qquad
\int_{y=0}^{3}y,dy = \frac{3^2}{2}= \frac{9}{2}. integralx=0^4x,dx = 4^22=8, integraly=0^3y,dy = 3^22= 92ãA\cdot 8\cdot \frac{9}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad A\cdot 36 =1
\quad\Longrightarrow\quad A=\frac{1}{36}.$$

Passo 3

Agora a densidade marginal de Y é
fY(y)=integralx=0^4f(x,y),dx =integral0^4136,x,y,dx =y36integral0^4x,dx =y36cdot 8 =8y36 =2y9,
válida para 0.

Passo 4

Por fim, usamos a definição de esperança de Y:
E(Y)=integral0^3y;fY(y),dy =integral0^3ycdot 2y9,dy =29integral0^3y^2,dy =29cdot 3^33 =29cdot 9 =2

Resposta

E(Y)=2

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