Considere a função densidade de probabilidade conjunta
Axy com
, e
fora destes intervalos. Calcule:
;
Passo 1
Beleza, aqui o problema diz que a gente tem uma densidade de probabilidade conjunta
e zero fora disso. A matéria envolvida é distribuição de probabilidade contínua, mais especificamente:
1) Normalizar a densidade para achar a constante
2) Obter a densidade marginal de
3) Calcular
Vamos precisar de integração dupla e simples e do conceito de densidade marginal e esperança.
Passo 2
Primeiro, normalizar para achar
. A condição é
Isso vira
Calculemos a parte de
e de
separadamente:
$$\int_{x=0}^{4}x,dx = \frac{4^2}{2}=8,\qquad
\int_{y=0}^{3}y,dy = \frac{3^2}{2}= \frac{9}{2}.
A\cdot 8\cdot \frac{9}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad A\cdot 36 =1
\quad\Longrightarrow\quad A=\frac{1}{36}.$$
Passo 3
Agora a densidade marginal de
é
válida para
.
Passo 4
Por fim, usamos a definição de esperança de
: