Considere a função p(x, y)=A se x <= y e p(x, y)=1 / 10 se x>y para x in1,2,3 e y in2,3,4. Determine o valor de A para que p(x, y) seja uma função de probabilidade conjunta, depois calcule:
P(Y>2);

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente trabalhar com uma função de probabilidade conjunta
p(x,y) =
A, & se x <= y,[6pt] dfrac110, & se x > y,
onde e .
Conteúdo: Probabilidade conjunta discreta, normalização e cálculo de probabilidade de um evento.
O que precisamos:
  1. Achar de forma que .
  2. Calcular .

Passo 2

Vamos normalizar a distribuição:
sumx=1^3sumy=2^4 p(x,y)=1
Para cada par 8A + 1cdot 0.1 = 1 Longrightarrow 8A = 0.9 Longrightarrow A = 0.98 = 0.1125 :
  • Se , .
  • Se , .
Conta rápida de quantos pares têm :
x=1: y=2,3,4 → 3 casos com
x=2: y=2,3,4 → 3 casos com
x=3: y=2 (3>2) → 1 caso com 0.1; y=3,4 → 2 casos com
Total de : vezes
Total de : vez
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Passo 3

Agora P(Y=3) = sumx=1^3 p(x,3) = 3A, P(Y=4) = sumx=1^3 p(x,4) = 3A .
Para cada um desses valores de P(Y>2) = 3A + 3A = 6A = 6 times 0.1125 = 0.675 , somamos sobre .
Como em ambos os casos sempre (pois ou e ), cada par vale .
Então

Resposta

A = 0.1125

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