Considere a função densidade de probabilidade conjunta f(x, y)=A(x+y) com 0 e 0, e f(x, y)=0 fora destes intervalos. Calcule:
a distribuição de probabilidade marginal de X ;

Passo 1

Beleza, o enunciado tá dizendo que a densidade conjunta é
f(x,y) ;=; A,(x+y)
para fX(x);=;integral-infty^+infty f(x,y),dy e , e zero fora disso. O que a gente quer é a distribuição marginal de , isto é,
Então vamos precisar de:
  1. Determinar a constante de normalização , usando a condição .
  2. Fazer a integral em para achar .

Passo 2

Primeiro, normalização. A ideia é que a soma (integral dupla) de toda a densidade valha 1. Logo:
integralx=0^4 integraly=0^2x A(x+y),dy,dx ;=;1
Vamos calcular a integral interna em integral0^2x(x+y),dy =l[x,y+tfracy^22r]0^2x = xcdot(2x)+(2x)^22 =2x^2+2x^2 =4x^2 :
integral0^4 Acdot 4x^2,dx =4A integral0^4 x^2,dx =4Acdot 4^33 =4Acdot 643 =256A3
Então a integral dupla vira
256A3=1 longrightarrow A=3256
Para isso dar 1, precisamos de

Passo 3

Agora que temos fX(x) =integral0^2x f(x,y),dy =integral0^2x 3256(x+y),dy =3256;integral0^2x(x+y),dy , a marginal de fX(x) =3256;times 4x^2 =12256,x^2 =364,x^2, é
Mas já calculamos essa integral lá no passo 2: deu . Logo
válido para . Fora disso, .

Resposta

boxed fX(x)= dfrac364,x^2, & 0á

Exercícios relacionados