Considere f uma função derivável em todos os pontos. Seja p o polinômio de Taylor de grau 3 de f centrado em 4. Sabendo que p(x)=2 x^3-4 x^2+x-1, determine f(4), f^prime(4), f^prime prime(4) e f^prime prime prime(4).

Passo 1

Temos uma função derivável f e sabemos que o polinômio de Taylor de grau 3 de f centrado em 4 é p(x)=2x³−4x²+x−1. Vamos usar isso para encontrar f(4), f′(4), f″(4) e f‴(4). O que precisamos: saber a forma geral do polinômio de Taylor de grau 3 em torno de a=4 e comparar com p(x).

Passo 2

O polinômio de Taylor de grau 3 de f em torno de a=4 é dado por
p(x)=f(4)+f'(4)(x-4)+f''(4)2(x-4)^2+f'''(4)6(x-4)^3

Passo 3

Para obter f(4), basta avaliar p(x) em x=4. Temos
f(4)=p(4)=2cdot4^3-4cdot4^2+4-1=128-64+4-1=67

Passo 4

Para encontrar f’(4), primeiro derivamos p(x):
p'(x)=6x^2-8x+1
Então
f'(4)=p'(4)=6cdot4^2-8cdot4+1=96-32+1=65

Passo 5

Para f’’(4), derivamos novamente:
p''(x)=12x-8,
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f''(4)=p''(4)=12cdot4-8=48-8=40

Passo 6

E para f’’’(4), derivamos p’’(x):
p'''(x)=12,
então
f'''(4)=p'''(4)=12

Resposta

f(4)=67, f′(4)=65, f″(4)=40, f‴(4)=12

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