Considere
uma função derivável em todos os pontos. Seja
o polinômio de Taylor de grau 3 de
centrado em 4. Sabendo que
, determine
e
.
Passo 1
Temos uma função derivável f e sabemos que o polinômio de Taylor de grau 3 de f centrado em 4 é p(x)=2x³−4x²+x−1. Vamos usar isso para encontrar f(4), f′(4), f″(4) e f‴(4). O que precisamos: saber a forma geral do polinômio de Taylor de grau 3 em torno de a=4 e comparar com p(x).
Passo 2
O polinômio de Taylor de grau 3 de f em torno de a=4 é dado por
Passo 3
Para obter f(4), basta avaliar p(x) em x=4. Temos
Passo 4
Para encontrar f’(4), primeiro derivamos p(x):
Então
Passo 5
Para f’’(4), derivamos novamente:
logo
Passo 6
E para f’’’(4), derivamos p’’(x):
então
Resposta
f(4)=67, f′(4)=65, f″(4)=40, f‴(4)=12