(1-x^2) y^prime prime(x)-2 x y^prime(x)+lambda(lambda+1) y(x)=0
O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Use o item anterior e a equação de Legendre para obter a equação de recorrência satisfeita pelos cn.

Passo 1

Temos a equação de Legendre
(1 - x^2)y''(x) - 2x y'(x) + lambda(lambda + 1)y(x) = 0
O conteúdo é aplicação de séries de potências e vamos precisar da definição de
y(x) = sumn = 0^infty cn x^n,
além de suas derivadas.

Passo 2

Derivamos a série termo a termo:
y'(x) = sumn = 1^infty n cn x^n-1,
y''(x) = sumn = 2^infty n(n - 1) cn x^n-2
Em seguida, substituímos em cada termo da EDO:
(1 - x^2)y'' = sumn = 2^infty n(n - 1)cn x^n-2 - sumn = 2^infty n(n - 1)cn x^n,
-2x y' = -2 sumn = 1^infty n cn x^n,
lambda(lambda + 1)y = sumn = 0^infty lambda(lambda+1)cn x^n

Passo 3

Agora a gente reindexa para todas as somas terem potência x^m. No primeiro termo, ponha m = n - 2, então
sumn = 2^infty n(n - 1)cn x^n-2 = summ = 0^infty (m+2)(m+1)cm+2 x^m
Nos demais, basta trocar n por m: todos têm forma summ=0^infty [cdots] x^m. Agrupando coeficientes de x^m e impondo zero, vem
(m+2)(m+1)cm+2 - l[m(m-1) + 2m - lambda(lambda+1)r]cm = 0

Passo 4

Note que m(m-1)+2m = m^2 + m = m(m+1). Assim o colchete é m(m+1) - lambda(lambda+1). Isolando cm+2 obtemos a relação de recorrência
cm+2 = m(m+1) - lambda(lambda+1)(m+2)(m+1),cm = (m - lambda)(m + lambda + 1)(m+2)(m+1),cm
Trocando m por n no índice final, fica a forma clássica.

Resposta

c_{n+2} = \displaystyle \frac{(n - \lambda)(n + \lambda + 1)}{(n+2)(n+1)},c_n

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