O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Use o item anterior e a equação de Legendre para obter a equação de recorrência satisfeita pelos
.
Passo 1
Temos a equação de Legendre
O conteúdo é aplicação de séries de potências e vamos precisar da definição de
além de suas derivadas.
Passo 2
Derivamos a série termo a termo:
Em seguida, substituímos em cada termo da EDO:
Passo 3
Agora a gente reindexa para todas as somas terem potência
. No primeiro termo, ponha
, então
Nos demais, basta trocar
por
: todos têm forma
. Agrupando coeficientes de
e impondo zero, vem
Passo 4
Note que
. Assim o colchete é
. Isolando
obtemos a relação de recorrência
Trocando
por
no índice final, fica a forma clássica.
Resposta
c_{n+2} = \displaystyle \frac{(n - \lambda)(n + \lambda + 1)}{(n+2)(n+1)},c_n