(1-x^2) y^prime prime(x)-2 x y^prime(x)+lambda(lambda+1) y(x)=0
O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Para lambda=7, determine os coeficientes das soluções canônicas y1(t) e y2(t) e decida qual delas é polinômio. Essa solução é uma função par ou ímpar?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve séries de potências. Especificamente, para , precisamos encontrar os coeficientes das soluções canônicas e . Também vamos descobrir qual dessas soluções é um polinômio e se ela é par ou ímpar. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial com (1 - x^2) y''(x) - 2x y'(x) + 7 cdot 8 , y(x) = 0 :
(1 - x^2) y''(x) - 2x y'(x) + 56 , y(x) = 0
Simplificando:

Passo 3

Agora, assumimos que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser representada por uma série de potências centrada em :
Onde são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n , an x^n-1 :
y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) , an x^n-2

Passo 5

Substituímos (1 - x^2) sumn=2^infty n (n-1) , an x^n-2 - 2x sumn=1^infty n , an x^n-1 + 56 sumn=0^infty an x^n = 0 , e na equação diferencial:

Passo 6

Distribuímos os termos:
sumn=2^infty n (n-1) , an x^n-2 - sumn=2^infty n (n-1) , an x^n - 2 sumn=1^infty n , an x^n + 56 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 7

Para facilitar a comparação de coeficientes, ajustamos os índices das somas para que todas sejam em termos de sumn=0^infty (n+2)(n+1) , an+2 x^n - sumn=2^infty n (n-1) , an x^n - 2 sumn=1^infty n , an x^n + 56 sumn=0^infty an x^n = 0 :

Passo 8

Reorganizamos as somas:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) , an+2 x^n + sumn=0^infty [56 an - 2n an - n(n-1) an] x^n = 0

Passo 9

Para que a equação seja igual a zero para todo (n+2)(n+1) , an+2 + (56 - 2n - n^2 + n) an = 0 , os coeficientes de cada potência de an+2 = (2n + n^2 - 56)(n+2)(n+1) an devem ser zero. Assim, temos a relação de recorrência:
Simplificando:

Passo 10

Começamos a calcular os coeficientes usando a relação de recorrência. Geralmente, definimos a2 = (2 cdot 0 + 0^2 - 56)2 cdot 1 a0 = -562 a0 = -28 a0 e a3 = (2 cdot 1 + 1^2 - 56)3 cdot 2 a1 = 2 + 1 - 566 a1 = -536 a1 como parâmetros livres:
Continuando desse jeito, buscamos padrões ou termos que terminem, indicando um polinômio.

Passo 11

Observamos que para certos valores de 2n + n^2 - 56 = 0 , o coeficiente n^2 + 2n - 56 = 0 se torna zero, o que faz a série terminar, formando um polinômio. Investigando a relação de recorrência:
n = -2 pm raiz4 + 2242 = -2 pm raiz2282 approx -2 pm 15.12
Resolvendo para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Apenas é um inteiro que satisfaz a equação (aproximadamente). Isso significa que a série terminará em , resultando em um polinômio de grau 6.

Passo 12

Portanto, uma das soluções será um polinômio de grau 6, e a outra será uma série infinita. Além disso, observando os termos calculados, como está associado a , , etc., a solução será uma função ímpar (só contém termos com potências ímpares). Já a solução polinomial inclui somente termos com potências pares, sendo assim uma função par.

Resposta

Os coeficientes das soluções canônicas para são tais que é um polinômio de grau 6 e é uma função par, enquanto é uma série infinita e é uma função ímpar.

Exercícios relacionados