O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Para
, determine os coeficientes das soluções canônicas
e
e decida qual delas é polinômio. Essa solução é uma função par ou ímpar?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve séries de potências. Especificamente, para
, precisamos encontrar os coeficientes das soluções canônicas
e
. Também vamos descobrir qual dessas soluções é um polinômio e se ela é par ou ímpar. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial com
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, assumimos que a solução
pode ser representada por uma série de potências centrada em
:
Onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 6
Distribuímos os termos:
Passo 7
Para facilitar a comparação de coeficientes, ajustamos os índices das somas para que todas sejam em termos de
:
Passo 8
Reorganizamos as somas:
Passo 9
Para que a equação seja igual a zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero. Assim, temos a relação de recorrência:
Simplificando:
Passo 10
Começamos a calcular os coeficientes usando a relação de recorrência. Geralmente, definimos
e
como parâmetros livres:
Continuando desse jeito, buscamos padrões ou termos que terminem, indicando um polinômio.
Passo 11
Observamos que para certos valores de
, o coeficiente
se torna zero, o que faz a série terminar, formando um polinômio. Investigando a relação de recorrência:
Resolvendo para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Apenas
é um inteiro que satisfaz a equação (aproximadamente). Isso significa que a série terminará em
, resultando em um polinômio de grau 6.
Passo 12
Portanto, uma das soluções
será um polinômio de grau 6, e a outra
será uma série infinita. Além disso, observando os termos calculados, como
está associado a
,
, etc., a solução
será uma função ímpar (só contém termos com potências ímpares). Já a solução polinomial
inclui somente termos com potências pares, sendo assim uma função par.
Resposta
Os coeficientes das soluções canônicas para
são tais que
é um polinômio de grau 6 e é uma função par, enquanto
é uma série infinita e é uma função ímpar.