(1-x^2) y^prime prime(x)-2 x y^prime(x)+lambda(lambda+1) y(x)=0
O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Para lambda=6, determine os coeficientes das soluções canônicas y1(t) e y2(t) e decida qual delas é polinômio. Essa solução é uma função par ou ímpar?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Legendre
(1 - x^2)y''(x) - 2x,y'(x) + lambda(lambda+1)y(x)=0
para o caso lambda=6, usando séries de potências, e investigar as duas soluções canônicas y1(x) e y2(x), identificando qual é polinomial e sua paridade.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências:
y(x)=sumk=0^inftyak,x^k
Substituindo na equação de Legendre e igualando coeficientes, obtemos o seguinte recur­ rência geral para lambda=6:
ak+2=k(k+1)-6cdot7(k+2)(k+1),ak =k(k+1)-42(k+2)(k+1),ak

Passo 3

Para a primeira solução canônica y1(x) escolhemos a1=0 e a0 arbitrário, gerando apenas potências pares. Calculando os primeiros coeficientes:
a2=0cdot1-422cdot1a0=-21,a0
a4=2cdot3-424cdot3a2=-3612(-21a0)=63,a0
a6=4cdot5-426cdot5a4=-2230cdot63a0=-2315a0
Para k=6 segue
a8=6cdot7-428cdot7a6=0,logo a série pára em x^6 éá

Passo 4

Para a segunda solução canônica y2(x) escolhemos a0=0 e a1 arbitrário, gerando potências ímpares. Calculando:
a3=1cdot2-423cdot2a1=-406a1=-203a1
a5=3cdot4-425cdot4a3=-3020l(-203a1r)=10,a1
a7=5cdot6-427cdot6a5=-1242cdot10a1=-207a1neq0
e assim a série continua indefinidamente (não polinomial).

Passo 5

Concluímos que a solução y1(x) é um polinômio de grau 6 (apenas potências pares) e portanto é função par. A solução y2(x) gera apenas potências ímpares, não é polinomial e é função ímpar.

Resposta

y_1(x)=a_0\bigl(1-21x2+63x4-\tfrac{231}{5}x^6\bigr), polinomial de grau 6 e função par. y_2(x)=a_1\bigl(x-\tfrac{20}{3}x3+10x5-\tfrac{20}{7}x^7+\cdots\bigr), não polinomial e função ímpar.

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