O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Para
, determine os coeficientes das soluções canônicas
e
e decida qual delas é polinômio. Essa solução é uma função par ou ímpar?
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Legendre
para o caso
, usando séries de potências, e investigar as duas soluções canônicas
e
, identificando qual é polinomial e sua paridade.
Passo 2
Assumimos uma solução em série de potências:
Substituindo na equação de Legendre e igualando coeficientes, obtemos o seguinte recur rência geral para
:
Passo 3
Para a primeira solução canônica
escolhemos
e
arbitrário, gerando apenas potências pares. Calculando os primeiros coeficientes:
Para
segue
Passo 4
Para a segunda solução canônica
escolhemos
e
arbitrário, gerando potências ímpares. Calculando:
e assim a série continua indefinidamente (não polinomial).
Passo 5
Concluímos que a solução
é um polinômio de grau 6 (apenas potências pares) e portanto é função par. A solução
gera apenas potências ímpares, não é polinomial e é função ímpar.
Resposta
y_1(x)=a_0\bigl(1-21x2+63x4-\tfrac{231}{5}x^6\bigr), polinomial de grau 6 e função par. y_2(x)=a_1\bigl(x-\tfrac{20}{3}x3+10x5-\tfrac{20}{7}x^7+\cdots\bigr), não polinomial e função ímpar.