Considere a função f(x, y)=x^{2}+y^{3}. Determine:
Se y=20, qual o valor de x para que o valor da função seja igual a 13 .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{3} e pede: quando y=20, qual o(s) valor(es) de x que fazem f(x,y)=13.
Informações fornecidas e objetivo:
  • Função: f(x,y)=x^{2}+y^{3}.
  • Valor fixo de y: y=20.
  • Valor desejado da função: f(x,y)=13.
  • Pergunta: determinar todos os x (reais ou complexos, se existirem) que satisfazem a equação acima com y=20.

Passo 2

Substituir o valor dado de y na expressão da função para escrever a equação que x deve satisfazer. A função é
f(x,20)=x^{2}+20^{3}.
Queremos f(x,20)=13, portanto a equação é
x^{2}+20^{3}=13.

Passo 3

Calcular 20^{3} passo a passo (para não depender de calculadora):
  • Primeiro 20^{2}=20\cdot20=400.
  • Em seguida 20^{3}=20^{2}\cdot20=400\cdot20.
  • Calcular 400\cdot20: 4\cdot20=80 e acrescentar as duas zeros → 8000.
    Logo,
20^{3}=8000.

Passo 4

Substituir o valor calculado em \,x^{2}+20^{3}=13,:
x^{2}+8000=13.

Passo 5

Isolar x^{2}. Subtrair 8000 dos dois lados:
x^{2}=13-8000.
Calcular a diferença:
13-8000=-7987,
portanto
x^{2}=-7987.

Passo 6

Interpretação no conjunto dos números reais. Lembrando uma propriedade básica:
  • Para qualquer número real t vale t^{2}\ge 0. Ou seja, o quadrado de um real nunca é negativo.
    Aqui obtivemos x^{2}=-7987<0. Isso é impossível para x real. Conclusão:
  • Não existe nenhum x\in\mathbb{R} que satisfaça x^{2}=-7987.
    Portanto não há solução real.

Passo 7

Soluções no conjunto dos números complexos. Se permitirmos x\in\mathbb{C}, podemos extrair raiz quadrada de um número negativo usando a unidade imaginária i, definida por i^{2}=-1. Escrevendo
x^{2}=-7987 = (-1)\cdot 7987,
temos
x=\pm\sqrt{-7987}=\pm\sqrt{-1}\,\sqrt{7987}=\pm i\sqrt{7987}.

Passo 8

Dar uma aproximação numérica útil para \sqrt{7987} (para intuição prática). Sabendo que 89^{2}=7921 e 90^{2}=8100, a raiz está entre 89 e 90. Uma aproximação por métodos simples dá
\sqrt{7987}\approx 89,37.
Logo as soluções complexas aproximadas são
x\approx \pm 89,37\,i.

Resposta

Não existe solução real.
Em \mathbb{C}: x=\pm i\sqrt{7987}\approx \pm 89,37\,i.

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