Considere a função
. Faça o que se pede:
a) Calcule
.
b) Calcule o ponto de interseção com os eixos
e
.
c) Determine o valor de
para que o ponto (
) pertença à interseção do gráfico de
com o plano
.
d) Determine o valor da função tal que o ponto (
) pertence à interseção do gráfico de
com o plano
e) Determine o valor de
, tal que o ponto
pertence à interseção do gráfico de
com o plano
a) Calcule
b) Calcule o ponto de interseção com os eixos
c) Determine o valor de
d) Determine o valor da função tal que o ponto (
e) Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede cinco coisas:
- (a) Calcular
. - (b) Calcular os pontos de interseção do gráfico de
com os eixos , e . - (c) Determinar
tal que o ponto pertença à interseção do gráfico de com o plano . - (d) Determinar o valor da função (ou seja, o valor de
) tal que o ponto pertença à interseção do gráfico de com o plano . - (e) Determinar
tal que o ponto pertença à interseção do gráfico de com o plano .
Informações relevantes fornecidas:
- A regra da função é
. - O gráfico de
é a superfície no espaço tridimensional dada por . - Interseções com eixos e planos são encontradas impondo as equações correspondentes: eixo
tem e ; eixo tem e ; eixo tem e ; plano tem ; plano tem ; plano tem .
Passo 2
Pequeno lembrete didático sobre procedimento (como fazer na prova):
- Para avaliar a função num ponto, basta substituir as coordenadas nas variáveis: calcular
substituindo e . - O gráfico é dado por pontos
que satisfazem . - Para achar interseção com um eixo ou plano, impor as condições desse eixo/plane (por exemplo, para o plano
usar ) e resolver a equação resultante para a(s) incógnita(s).
Vou aplicar esses procedimentos passo a passo para cada item.
Passo 3
Item (a): calcular
.
Substituir e
em
:
Substituir
Agora calcular cada termo:
Somando:
Efetuando a soma:
Portanto o valor calculado é
.
Passo 4
Item (b): interseção do gráfico com os eixos.
- Eixo
: No espaço tridimensional, o eixo tem . Para que esteja no gráfico, deve valer . Substituindo:
Resolver
dá
Isso não tem solução real (porque quadrado não pode ser negativo). Conclusão: não há interseção real do gráfico com o eixo
.
- Eixo
: O eixo tem pontos . Exigir . Substituindo:
Resolver
dá
Logo existe interseção real e o ponto é
.
- Eixo
: O eixo tem pontos . Para esses pontos, . Calcular:
Portanto o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 5
Item (c): ponto
pertence à interseção do gráfico com o plano
.
Explicação passo a passo: o plano
tem equação
. A interseção do gráfico com esse plano é o conjunto de pontos
com
. Para que
esteja nessa interseção, precisa valer
Calcular
:
Impor
e resolver:
Novamente isso não tem solução real. Conclusão: não existe valor real de
que faça
pertencer à interseção do gráfico com o plano
.
Passo 6
Item (d): ponto
pertence à interseção do gráfico com o plano
.
O plano
tem
. Para
estar no gráfico, precisa que
. Calcular:
Portanto o valor de
requerido é
.
Passo 7
Item (e): ponto
pertence à interseção do gráfico com o plano
.
O plano
tem
. Para
estar no gráfico, precisa valer
. Calcular
:
Calcular os termos constantes:
Assim a equação fica
Resolver para
:
Passo 8
Resumo final (respostas prontas para conferir na prova). Mantive os passos anteriores com os cálculos detalhados para você poder reproduzir sem calculadora: substituir, simplificar termo a termo e resolver equações quadráticas ou lineares quando aparecerem. Força — tá indo bem!
Resposta
(a)
(b) Eixo : nenhuma interseção real; Eixo
:
; Eixo
:
(c) Não existe valor real de (nenhuma solução real)
(d)
(e)
(b) Eixo
(c) Não existe valor real de
(d)
(e)