Considere a função f(x, y)=2 x^{2}-5 y+16. Faça o que se pede:
a) Calcule f(-2,3).
b) Calcule o ponto de interseção com os eixos x, y e z.
c) Determine o valor de x para que o ponto ( x, 0,10 ) pertença à interseção do gráfico de f com o plano x z.
d) Determine o valor da função tal que o ponto ( 0,2, z ) pertence à interseção do gráfico de f com o plano y z
e) Determine o valor de y, tal que o ponto (4, y, 0) pertence à interseção do gráfico de f com o plano x y

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x^{2}-5y+16 e pede cinco coisas:
  • (a) Calcular f(-2,3).
  • (b) Calcular os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos x, y e z.
  • (c) Determinar x tal que o ponto (x,0,10) pertença à interseção do gráfico de f com o plano xz.
  • (d) Determinar o valor da função (ou seja, o valor de z) tal que o ponto (0,2,z) pertença à interseção do gráfico de f com o plano yz.
  • (e) Determinar y tal que o ponto (4,y,0) pertença à interseção do gráfico de f com o plano xy.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra da função é f(x,y)=2x^{2}-5y+16.
  • O gráfico de f é a superfície no espaço tridimensional dada por z=f(x,y).
  • Interseções com eixos e planos são encontradas impondo as equações correspondentes: eixo x tem y=0 e z=0; eixo y tem x=0 e z=0; eixo z tem x=0 e y=0; plano xz tem y=0; plano yz tem x=0; plano xy tem z=0.

Passo 2

Pequeno lembrete didático sobre procedimento (como fazer na prova):
  • Para avaliar a função num ponto, basta substituir as coordenadas nas variáveis: calcular f(x_{0},y_{0}) substituindo x=x_{0} e y=y_{0}.
  • O gráfico é dado por pontos (x,y,z) que satisfazem z=f(x,y).
  • Para achar interseção com um eixo ou plano, impor as condições desse eixo/plane (por exemplo, para o plano xz usar y=0) e resolver a equação resultante para a(s) incógnita(s).
    Vou aplicar esses procedimentos passo a passo para cada item.

Passo 3

Item (a): calcular f(-2,3).
Substituir x=-2 e y=3 em f:
f(-2,3)=2(-2)^{2}-5\cdot 3+16.
Agora calcular cada termo:
(-2)^{2}=4,\qquad 2\cdot 4=8,\qquad -5\cdot 3=-15.
Somando:
f(-2,3)=8-15+16.
Efetuando a soma:
8-15=-7,\qquad -7+16=9.
Portanto o valor calculado é 9.

Passo 4

Item (b): interseção do gráfico com os eixos.
  • Eixo x: No espaço tridimensional, o eixo x tem (x,0,0). Para que (x,0,0) esteja no gráfico, deve valer 0=f(x,0). Substituindo:
f(x,0)=2x^{2}-5\cdot 0+16=2x^{2}+16.
Resolver 2x^{2}+16=0
2x^{2}=-16\quad\Rightarrow\quad x^{2}=-8.
Isso não tem solução real (porque quadrado não pode ser negativo). Conclusão: não há interseção real do gráfico com o eixo x.
  • Eixo y: O eixo y tem pontos (0,y,0). Exigir 0=f(0,y). Substituindo:
f(0,y)=2\cdot 0^{2}-5y+16=-5y+16.
Resolver -5y+16=0
-5y=-16\quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{16}{5}.
Logo existe interseção real e o ponto é (0,\tfrac{16}{5},0).
  • Eixo z: O eixo z tem pontos (0,0,z). Para esses pontos, z=f(0,0). Calcular:
f(0,0)=2\cdot 0^{2}-5\cdot 0+16=16.
Portanto o ponto de interseção com o eixo z é (0,0,16).

Passo 5

Item (c): ponto (x,0,10) pertence à interseção do gráfico com o plano xz.
Explicação passo a passo: o plano xz tem equação y=0. A interseção do gráfico com esse plano é o conjunto de pontos (x,0,z) com z=f(x,0). Para que (x,0,10) esteja nessa interseção, precisa valer
f(x,0)=10.
Calcular f(x,0):
f(x,0)=2x^{2}-5\cdot 0+16=2x^{2}+16.
Impor 2x^{2}+16=10 e resolver:
2x^{2}=10-16=-6\quad\Rightarrow\quad x^{2}=-3.
Novamente isso não tem solução real. Conclusão: não existe valor real de x que faça (x,0,10) pertencer à interseção do gráfico com o plano xz.

Passo 6

Item (d): ponto (0,2,z) pertence à interseção do gráfico com o plano yz.
O plano yz tem x=0. Para (0,2,z) estar no gráfico, precisa que z=f(0,2). Calcular:
f(0,2)=2\cdot 0^{2}-5\cdot 2+16=-10+16=6.
Portanto o valor de z requerido é 6.

Passo 7

Item (e): ponto (4,y,0) pertence à interseção do gráfico com o plano xy.
O plano xy tem z=0. Para (4,y,0) estar no gráfico, precisa valer 0=f(4,y). Calcular f(4,y):
f(4,y)=2\cdot 4^{2}-5y+16.
Calcular os termos constantes:
4^{2}=16,\qquad 2\cdot 16=32,\qquad 32+16=48.
Assim a equação fica
48-5y=0.
Resolver para y:
-5y=-48\quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{48}{5}.

Passo 8

Resumo final (respostas prontas para conferir na prova). Mantive os passos anteriores com os cálculos detalhados para você poder reproduzir sem calculadora: substituir, simplificar termo a termo e resolver equações quadráticas ou lineares quando aparecerem. Força — tá indo bem!

Resposta

(a) f(-2,3)=9
(b) Eixo x: nenhuma interseção real; Eixo y: (0,\tfrac{16}{5},0); Eixo z: (0,0,16)
(c) Não existe valor real de x (nenhuma solução real)
(d) z=6
(e) y=\tfrac{48}{5}

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