Considere a função:
Determine as afirmativas verdadeiras:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função definida por partes:
f(x) = x^2 & para x <= 0 ln(x) & para x > 0
O conteúdo aqui envolve funções definidas por partes, continuidade e possivelmente derivadas. Para resolver, vamos analisar cada parte da função e verificar suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
  • Para $ x \leq 0 $, a função é $ x^{2} $, que está definida para todos os números reais.
  • Para $ x > 0 $, a função é $ \ln(x) $. A função logarítmica natural $ \ln(x) $ está definida apenas para $ x > 0 $.
Então, o domínio de $ f(x) $ é todos os $ x $ tais que $ x > 0 $ ou $ x \leq 0 $, ou seja, todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade da função em $ x = 0 $. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em 0.
  • Limite pela esquerda ($ x \to 0^- $):
x = 0
  • Limite pela direita ($ x \to 0^+ $):
x
  • Valor da função em 0:
x
Como o limite pela direita é $ -\infty $ e o limite pela esquerda é 0, eles não são iguais. Portanto, a função não é contínua em $ x = 0 $.

Passo 4

Vamos também verificar a derivabilidade da função em $ x = 0 $. Para ser derivável, a função precisa ser contínua no ponto, o que já vimos que não acontece. Mesmo assim, vamos calcular as derivadas laterais.
  • Derivada pela esquerda ($ x \leq 0 $):
x = 0
  • Derivada pela direita ($ x > 0 $):
x <= 0
As derivadas laterais não são iguais, reforçando que a função não é derivável em $ x = 0 $.

Passo 5

Além disso, vamos analisar a continuidade e derivabilidade em outros pontos:
  • Para $ x < 0 $, $ f(x) = x^{2} $ é uma função polinomial, contínua e derivável em todo o seu domínio.
  • Para $ x > 0 $, $ f(x) = \ln(x) $ é contínua e derivável para $ x > 0 $.
Portanto, os únicos pontos de descontinuidade e não derivabilidade estão em $ x = 0 $.

Resposta

A função $ f(x) $ definida por partes tem domínio em todos os números reais, mas não é contínua nem derivável em $ x = 0 $ devido à discrepância nos limites laterais. Em todo outro ponto, a função é contínua e derivável conforme as funções $ x^{2} $ e $ \ln(x) $.

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