Determine o valores de
e
para que a função
definida abaixo seja contínua
.
[
\vec{f}(t)=\left{
\right.
\vec{f}(t)=\left{
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que muda de expressão dependendo do valor de
. A questão pede para encontrar os valores de
e
que fazem essa função ser contínua em
. Isso significa que, quando
se aproxima de 1 por qualquer lado, a função não pode “pular” de valor; ela tem que chegar nesse mesmo valor em
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa a função ser contínua em
. Isso quer dizer que:
Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de 1 pelo lado esquerdo (
) e pelo lado direito (
) deve ser igual ao valor da função em
, que é
.
Passo 3
Vamos começar calculando o limite quando
se aproxima de 1 pelo lado direito (
):
Focando na primeira componente:
.
Sabemos que
é uma função que oscila entre -1 e 1. Porém,
tende a 0 quando
se aproxima de 1. Então, o produto
também tende a 0. Assim, o limite fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pelo lado esquerdo (
):
Focando na primeira componente:
.
Primeiro, precisamos simplificar essa expressão. Vamos fatorar o numerador:
Então, a expressão fica:
Com
, podemos cancelar
no numerador e denominador:
Agora, calculando o limite:
Passo 5
Sabemos que para a função ser contínua em
, os limites pelos dois lados devem ser iguais ao valor da função em
, que é 2. Então, temos:
Resolvendo a segunda equação para
:
Resposta
Os valores que tornam a função
contínua em
são
e
.