Determine o valores de A e B para que a função f definida abaixo seja contínua em t=1.
[
\vec{f}(t)=\left{ l ((t-1)^2 sen(1t-1)+A, 0) se t>1, (2,0) se t=1, (t^2-(B+1) t+Bt-1, 0), se t<1 \right.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(t) que muda de expressão dependendo do valor de t. A questão pede para encontrar os valores de A e B que fazem essa função ser contínua em t = 1. Isso significa que, quando t se aproxima de 1 por qualquer lado, a função não pode “pular” de valor; ela tem que chegar nesse mesmo valor em t = 1. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa a função ser contínua em t = 1. Isso quer dizer que:
limt to 1^- f(t) = f(1) = limt to 1^+ f(t)
Ou seja, o limite da função quando t se aproxima de 1 pelo lado esquerdo ( t to 1^-) e pelo lado direito ( t to 1^+) deve ser igual ao valor da função em t = 1, que é (2, 0).

Passo 3

Vamos começar calculando o limite quando t se aproxima de 1 pelo lado direito ( t > 1):
limt to 1^+ ( (t-1)^2 sin(1t-1) + A, 0 )
Focando na primeira componente: (t-1)^2 sin(1t-1) + A.
Sabemos que sin(1t-1) é uma função que oscila entre -1 e 1. Porém, (t-1)^2 tende a 0 quando t se aproxima de 1. Então, o produto (t-1)^2 sin(1t-1) também tende a 0. Assim, o limite fica:
limt to 1^+ ( 0 + A ) = A

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando t se aproxima de 1 pelo lado esquerdo ( t < 1):
limt to 1^- ( t^2 - (B+1)t + Bt - 1, 0 )
Focando na primeira componente: t^2 - (B+1)t + Bt - 1.
Primeiro, precisamos simplificar essa expressão. Vamos fatorar o numerador:
t^2 - (B+1)t + B = (t - 1)(t - B)
Então, a expressão fica:
(t - 1)(t - B)t - 1
Com t neq 1, podemos cancelar (t - 1) no numerador e denominador:
t - B
Agora, calculando o limite:
limt to 1^- (t - B) = 1 - B

Passo 5

Sabemos que para a função ser contínua em t = 1, os limites pelos dois lados devem ser iguais ao valor da função em t = 1, que é 2. Então, temos:
A = 2
1 - B = 2
Resolvendo a segunda equação para B:
1 - B = 2 implies -B = 2 - 1 implies -B = 1 implies B = -1

Resposta

Os valores que tornam a função f(t) contínua em t = 1 são A = 2 e B = -1.

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