Qual das seguintes integrais determina o volume do sólido gerado quando a área delimitada pelas curvas y=x^2 e x=y^2 é rotacionada em torno do eixo x ?
Escolha uma opção:
integral0^1 pi x^2(1-x^2) d x
integral0^1 pi raizx(1-x^2) d x
integral0^1 pi raizx(1+x^2) d x
integral0^1 pi x(1-x^2) d x
Nenhuma das demais alternativas
integral0^1 pi x(1-x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo juntos! O problema pede para encontrar qual das integrais dadas representa o volume de um sólido formado quando a área delimitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ x = y^{2} $ é girada em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos ou aneles, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais são as curvas envolvidas e onde elas se intersectam. As curvas são $ y = x^{2} $ e $ x = y^{2} $. Para encontrar os pontos de interseção, vamos resolver o sistema:
y = x^2
x = y^2
Substituindo $ y $ da primeira equação na segunda:
y = x^2
Então, temos $ x^{4} - x = 0 \Rightarrow x(x^{3} - 1) = 0 $, o que nos dá $ x = 0 $ ou $ x = 1 $. Portanto, as curvas se intersectam nos pontos $ (0, 0) $ e $ (1, 1) $.

Passo 3

Agora, vamos visualizar o sólido de revolução. Quando giramos a região entre $ y = x^{2} $ e $ x = y^{2} $ em torno do eixo $ x $, usamos o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume usando discos é:
y = x^2
Onde:
  • $ R(x) $ é o raio externo (a curva mais afastada do eixo de rotação).
  • $ r(x) $ é o raio interno (a curva mais próxima do eixo de rotação).
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração.

Passo 4

Identificando $ R(x) $ e $ r(x) $:
  • A curva $ y = x^{2} $ está abaixo da $ y = \sqrt{x} $ no intervalo de $ x $ de 0 a 1.
  • Quando giramos em torno do eixo $ x $, o raio externo $ R(x) $ será a maior distância em $ y $, que é $ \sqrt{x} $.
  • O raio interno $ r(x) $ será a menor distância em $ y $, que é $ x^{2} $.
Então, a fórmula fica:
R(x)

Passo 5

Simplificando as expressões dentro da integral:
(raizx)^2 = x
(x^2)^2 = x^4
Portanto, a integral fica:
V = pi integral0^1 (x - x^4) , dx

Passo 6

Agora, vamos comparar essa expressão com as opções fornecidas:
  1. $ \int_{0}^{1} \pi x^{2}(1 - x^{2}) , dx $
  2. $ \int_{0}^{1} \pi \sqrt{x}(1 - x^{2}) , dx $
  3. $ \int_{0}^{1} \pi \sqrt{x}(1 + x^{2}) , dx $
  4. $ \int_{0}^{1} \pi x(1 - x^{2}) , dx $
  5. Nenhuma das demais alternativas
  6. $ \int_{0}^{1} \pi x(1 - x^{3}) , dx $
A nossa expressão $ \pi \int_{0}^{1} (x - x^{4}) , dx $ pode ser reescrita como $ \pi \int_{0}^{1} x(1 - x^{3}) , dx $, que corresponde à opção 6.

Resposta

A integral correta é $ \int_{0}^{1} \pi x\left(1 - x^{3}\right) , dx $.

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