Qual das seguintes integrais determina o volume do sólido gerado quando a área delimitada pelas curvas
e
é rotacionada em torno do eixo
?
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo juntos! O problema pede para encontrar qual das integrais dadas representa o volume de um sólido formado quando a área delimitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ x = y^{2} $ é girada em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos ou aneles, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais são as curvas envolvidas e onde elas se intersectam. As curvas são $ y = x^{2} $ e $ x = y^{2} $. Para encontrar os pontos de interseção, vamos resolver o sistema:
Substituindo $ y $ da primeira equação na segunda:
Então, temos $ x^{4} - x = 0 \Rightarrow x(x^{3} - 1) = 0 $, o que nos dá $ x = 0 $ ou $ x = 1 $. Portanto, as curvas se intersectam nos pontos $ (0, 0) $ e $ (1, 1) $.
Passo 3
Agora, vamos visualizar o sólido de revolução. Quando giramos a região entre $ y = x^{2} $ e $ x = y^{2} $ em torno do eixo $ x $, usamos o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume usando discos é:
Onde:
- $ R(x) $ é o raio externo (a curva mais afastada do eixo de rotação).
- $ r(x) $ é o raio interno (a curva mais próxima do eixo de rotação).
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
Passo 4
Identificando $ R(x) $ e $ r(x) $:
- A curva $ y = x^{2} $ está abaixo da $ y = \sqrt{x} $ no intervalo de $ x $ de 0 a 1.
- Quando giramos em torno do eixo $ x $, o raio externo $ R(x) $ será a maior distância em $ y $, que é $ \sqrt{x} $.
- O raio interno $ r(x) $ será a menor distância em $ y $, que é $ x^{2} $.
Então, a fórmula fica:
Passo 5
Simplificando as expressões dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos comparar essa expressão com as opções fornecidas:
- $ \int_{0}^{1} \pi x^{2}(1 - x^{2}) , dx $
- $ \int_{0}^{1} \pi \sqrt{x}(1 - x^{2}) , dx $
- $ \int_{0}^{1} \pi \sqrt{x}(1 + x^{2}) , dx $
- $ \int_{0}^{1} \pi x(1 - x^{2}) , dx $
- Nenhuma das demais alternativas
- $ \int_{0}^{1} \pi x(1 - x^{3}) , dx $
A nossa expressão $ \pi \int_{0}^{1} (x - x^{4}) , dx $ pode ser reescrita como $ \pi \int_{0}^{1} x(1 - x^{3}) , dx $, que corresponde à opção 6.
Resposta
A integral correta é $ \int_{0}^{1} \pi x\left(1 - x^{3}\right) , dx $.