Determine o valor de
para que a função vetorial
definida abaixo seja contínua em
.
[
\vec{f}(t)=\left{
\right.
\vec{f}(t)=\left{
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o valor de $ b $ para que a função vetorial $ \vec{f}(t) $ seja contínua em $ t = 0 $. Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções vetoriais. Basicamente, precisamos garantir que o valor da função à direita de 0 e à esquerda de 0 se encaixem direitinho em $ t = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em $ t = 0 $. Isso quer dizer que o limite da função quando $ t $ se aproxima de 0 pelo lado positivo (direita) deve ser igual ao limite quando $ t $ se aproxima de 0 pelo lado negativo (esquerda) e também ao valor da função em $ t = 0 $.
Passo 3
A função $ \vec{f}(t) $ é definida de forma diferente para $ t > 0 $ e $ t \leq 0 $. Vamos analisar cada parte:
- Para $ t > 0 $:
- Para $ t \leq 0 $:
Passo 4
Como a segunda componente da função é sempre 1, ela já é contínua em $ t = 0 $. Então, vamos focar na primeira componente: $ (1 + \sin(2t))^{\frac{3}{t}} $. Precisamos encontrar o limite dessa expressão quando $ t $ se aproxima de 0 pela direita.
Passo 5
Vamos calcular o limite:
Para resolver isso, podemos usar uma propriedade de limites que envolve o número de Euler $ e $. Sabemos que:
Vamos adaptar essa ideia para nossa expressão.
Passo 6
Vamos tomar o logaritmo natural para facilitar:
Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando $ t \to 0^+ $.
Passo 7
Sabemos que para $ t $ próximo de 0, $ \sin(2t) \approx 2t $. Então:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 8
Então, o limite do logaritmo é 6. Para encontrar o limite original, levantamos $ e $ a esse valor:
Portanto, para que a função seja contínua em $ t = 0 $, precisamos que $ b = e^{6} $.
Resposta
O valor de $ b $ é $ e^{6} $.