Determine o valor de b para que a função vetorial f: R R^2 definida abaixo seja contínua em t=0.
[
\vec{f}(t)=\left{ l ((1+sen(2 t))^3t, 1) se t>0 (b, 1), se t <= 0 \right.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o valor de $ b $ para que a função vetorial $ \vec{f}(t) $ seja contínua em $ t = 0 $. Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções vetoriais. Basicamente, precisamos garantir que o valor da função à direita de 0 e à esquerda de 0 se encaixem direitinho em $ t = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em $ t = 0 $. Isso quer dizer que o limite da função quando $ t $ se aproxima de 0 pelo lado positivo (direita) deve ser igual ao limite quando $ t $ se aproxima de 0 pelo lado negativo (esquerda) e também ao valor da função em $ t = 0 $.

Passo 3

A função $ \vec{f}(t) $ é definida de forma diferente para $ t > 0 $ e $ t \leq 0 $. Vamos analisar cada parte:
  • Para $ t > 0 $: f(t)
  • Para $ t \leq 0 $: t > 0

Passo 4

Como a segunda componente da função é sempre 1, ela já é contínua em $ t = 0 $. Então, vamos focar na primeira componente: $ (1 + \sin(2t))^{\frac{3}{t}} $. Precisamos encontrar o limite dessa expressão quando $ t $ se aproxima de 0 pela direita.

Passo 5

Vamos calcular o limite:
limt to 0^+ (1 + sin(2t))^3t = b
Para resolver isso, podemos usar uma propriedade de limites que envolve o número de Euler $ e $. Sabemos que:
e
Vamos adaptar essa ideia para nossa expressão.

Passo 6

Vamos tomar o logaritmo natural para facilitar:
ln( (1 + sin(2t))^3t ) = 3t cdot ln(1 + sin(2t))
Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando $ t \to 0^+ $.

Passo 7

Sabemos que para $ t $ próximo de 0, $ \sin(2t) \approx 2t $. Então:
t çã
Substituindo na expressão anterior:
sin(2t) approx 2t

Passo 8

Então, o limite do logaritmo é 6. Para encontrar o limite original, levantamos $ e $ a esse valor:
e
Portanto, para que a função seja contínua em $ t = 0 $, precisamos que $ b = e^{6} $.

Resposta

O valor de $ b $ é $ e^{6} $.

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