Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo multivariável, especificamente como calcular derivadas parciais e usar essas derivadas para determinar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
para saber qual é a coordenada
do ponto onde vamos encontrar o plano tangente. Substituímos
e
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando varíamos uma variável, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Depois, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo
,
,
,
e
:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é: