Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y)=x^2 y^2 no ponto (1,3, f(1,3)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = x^2 y^2 no ponto (1, 3, f(1, 3)) . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo multivariável, especificamente como calcular derivadas parciais e usar essas derivadas para determinar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de f(1, 3) para saber qual é a coordenada z do ponto onde vamos encontrar o plano tangente. Substituímos x = 1 e y = 3 na função:
f(1, 3) = (1)^2 times (3)^2 = 1 times 9 = 9
Então, o ponto de tangência é (1, 3, 9) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando varíamos uma variável, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x(x^2 y^2) = 2x y^2
Depois, a derivada parcial em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y(x^2 y^2) = 2x^2 y

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 3) :
Para fx(1, 3) :
fx(1, 3) = 2 times 1 times (3)^2 = 2 times 1 times 9 = 18
Para fy(1, 3) :
fy(1, 3) = 2 times (1)^2 times 3 = 2 times 1 times 3 = 6

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo a = 1 , b = 3 , f(a, b) = 9 , fx(a, b) = 18 e fy(a, b) = 6 :
z = 9 + 18(x - 1) + 6(y - 3)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
z = 9 + 18x - 18 + 6y - 18
z = 18x + 6y - 27

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) = x^2 y^2 no ponto (1, 3, 9) é:
z = 18x + 6y - 27

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