Considere a função f(x, y)=-4 cos (x^2+2 y). Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0, pi, f(0, pi)).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = -4 cos (x^2 + 2 y) no ponto específico (0, pi, f(0, pi)) . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de f(0, pi) . Substituindo x = 0 e y = pi na função:
f(0, pi) = -4 cos (0^2 + 2 pi) = -4 cos (2pi)
Sabemos que cos(2pi) = 1 , então:
f(0, pi) = -4 times 1 = -4

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y .
Para fx , derivando em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x ( -4 cos (x^2 + 2 y) ) = -4 times (-sin(x^2 + 2 y)) times 2x = 8x sin(x^2 + 2 y)
Para fy , derivando em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y ( -4 cos (x^2 + 2 y) ) = -4 times (-sin(x^2 + 2 y)) times 2 = 8 sin(x^2 + 2 y)

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (0, pi) .
Para fx(0, pi) :
fx(0, pi) = 8 times 0 times sin(0^2 + 2 pi) = 0
Para fy(0, pi) :
fy(0, pi) = 8 sin(0^2 + 2 pi) = 8 sin(2pi) = 8 times 0 = 0

Passo 5

Com todas as informações, usamos a fórmula do plano tangente:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo a = 0 , b = pi , f(0, pi) = -4 , fx(0, pi) = 0 e fy(0, pi) = 0 :
z = -4 + 0 times (x - 0) + 0 times (y - pi) = -4

Resposta

A equação do plano tangente é z = -4 .

Exercícios relacionados