Considere a função
. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada parcial, para achar as inclinações do plano nas direções de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
para saber a coordenada
do ponto onde vamos tangenciar. Substituindo
e
na função:
Então, o ponto é
.
Passo 3
Agora, precisamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
, que vão nos dar as inclinações do plano nas direções
e
.
Vamos começar com a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Para
:
E para
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em torno de um ponto
é:
Substituindo os valores que já temos:
Resposta
Simplificando a equação:
Então, a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é
.