Considere a função f(x, y)=3 x+raizx^2+y^2. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,2, f(0,2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x, y) = 3x + raizx^2 + y^2 e precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto (0, 2, f(0, 2)) . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada parcial, para achar as inclinações do plano nas direções de x e y .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de f(0, 2) para saber a coordenada z do ponto onde vamos tangenciar. Substituindo x = 0 e y = 2 na função:
f(0, 2) = 3(0) + raiz0^2 + 2^2 = 0 + raiz4 = 2
Então, o ponto é (0, 2, 2) .

Passo 3

Agora, precisamos achar as derivadas parciais de f em relação a x e y , que vão nos dar as inclinações do plano nas direções x e y .
Vamos começar com a derivada parcial em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x ( 3x + raizx^2 + y^2 ) = 3 + xraizx^2 + y^2
E a derivada parcial em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y ( 3x + raizx^2 + y^2 ) = yraizx^2 + y^2

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (0, 2) :
Para fx(0, 2) :
fx(0, 2) = 3 + 0raiz0^2 + 2^2 = 3 + 0 = 3
E para fy(0, 2) :
fy(0, 2) = 2raiz0^2 + 2^2 = 22 = 1

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em torno de um ponto (x0, y0, z0) é:
z = z0 + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que já temos:
z = 2 + 3(x - 0) + 1(y - 2)

Resposta

Simplificando a equação:
z = 2 + 3x + y - 2 implies z = 3x + y
Então, a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0, 2, 2) é z = 3x + y .

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