Prove as seguintes identidades.
cossec x-sec xcotg x-1=sec x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que csc x - sec xcot x - 1 = sec x. Vamos precisar usar as identidades recíprocas
  • csc x = tfrac1sin x
  • sec x = tfrac1cos x
  • cot x = tfraccos xsin x
    além de manipulações algébricas de frações.

Passo 2

Escrevemos o numerador e o denominador em termos de sin x e cos x. Numerador:
csc x - sec x = 1sin x - 1cos x = cos x - sin xsin x,cos x
Denominador:
cot x - 1 = cos xsin x - 1 = cos x - sin xsin x

Passo 3

Agora dividimos as frações. Temos
cos x - sin xsin x,cos xcos x - sin xsin x
Quando dividimos tfracAB por tfracCD, multiplicamos por tfracDC. Aqui A=cos x-sin x, B=sin x,cos x, C=cos x-sin x, D=sin x.

Passo 4

Cancelamos o fator comum cos x - sin x (presumindo cos x neq sin x) e simplificamos:
cos x - sin xsin x,cos x cdot sin xcos x - sin x = 1cos x = sec x

Passo 5

Portanto chegamos exatamente a sec x, mostrando que
csc x - sec xcot x - 1 = sec x

Resposta

sec x

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