Determine a curvatura, torção, componentes normal e tangencial da aceleração para as seguintes curvas: . Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a curvatura (), a torção (), e as componentes normal () e tangencial () da aceleração para a curva dada por , onde .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo . Ou seja:
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Vamos calcular a velocidade instantânea, que é o módulo da velocidade:
Passo 5
A componente tangencial da aceleração () é dada pela derivada do módulo da velocidade:
Passo 6
A componente normal da aceleração () é dada por:
Calculando :
Então:
Passo 7
Para encontrar a curvatura (k(t)) e a torção (tau(t)), usamos as fórmulas:
k(t) = |v(t) times a(t)||v(t)|^3
tau(t) = (v(t) times a(t)) cdot a'(t)|v(t) times a(t)|^2
Primeiro, calculamos o produto vetorial v(t) times a(t):