Determine a curvatura, torção, componentes normal e tangencial da aceleração para as seguintes curvas:
r=r(t)=(ln t, 0, ln t), t>0. Resp.: k(t)=aN(t)=tau(t)=0 ; aT(t)=-raiz2 t^-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a curvatura ( k(t)), a torção ( tau(t)), e as componentes normal ( aN(t)) e tangencial ( aT(t)) da aceleração para a curva dada por r(t) = (ln t, 0, ln t), onde t > 0.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo t. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Calculando as derivadas:
v(t) = ( ddt ln t, ddt 0, ddt ln t ) = ( 1t, 0, 1t )

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Calculando as derivadas:
a(t) = ( ddt 1t, ddt 0, ddt 1t ) = ( -1t^2, 0, -1t^2 )

Passo 4

Vamos calcular a velocidade instantânea, que é o módulo da velocidade:
|v(t)| = raiz(1t)^2 + 0^2 + (1t)^2 = raiz1t^2 + 1t^2 = raiz2t^2 = raiz2t

Passo 5

A componente tangencial da aceleração ( aT) é dada pela derivada do módulo da velocidade:
aT = d|v(t)|dt = ddt( raiz2t ) = -raiz2t^2

Passo 6

A componente normal da aceleração ( aN) é dada por:
aN = raiz|a(t)|^2 - aT^2
Calculando |a(t)|:
|a(t)| = raiz(-1t^2)^2 + 0^2 + (-1t^2)^2 = raiz1t^4 + 1t^4 = raiz2t^4 = raiz2t^2
Então:
aN = raiz(raiz2t^2)^2 - (-raiz2t^2)^2 = raiz2t^4 - 2t^4 = 0

Passo 7

Para encontrar a curvatura ( k(t)) e a torção ( tau(t)), usamos as fórmulas:
k(t) = |v(t) times a(t)||v(t)|^3
tau(t) = (v(t) times a(t)) cdot a'(t)|v(t) times a(t)|^2
Primeiro, calculamos o produto vetorial v(t) times a(t):
v(t) times a(t) = i & j & k 1t & 0 & 1t -1t^2 & 0 & -1t^2 = j ( 1t cdot -1t^2 - 1t cdot -1t^2 ) = j (0) = 0
Como o produto vetorial é zero, temos:
k(t) = 0 e tau(t) = 0

Resposta

k(t) = 0, aN(t) = 0, tau(t) = 0 e aT(t) = -raiz2 , t^-2.

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