Determine o Triedo de Frenet para a hélice circular r(t)=a cos t i+a sin t j+t k.
Resp.: t=1raiza^2+1(-a sin t, a cos t, 1) ; n=(-cos t,-sin t, 0) ; b=1raiza^2+1(sin t,-cos t, a).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente precisa determinar o Tríduo de Frenet para uma hélice circular dada pela função vetorial r(t) = a cos t, i + a sin t, j + t, k. O Tríduo de Frenet é composto por três vetores: o vetor tangente t, o vetor normal n e o vetor binormal b. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas da função posição e usar as fórmulas do Tríduo de Frenet.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada de r(t) em relação a t. Isso vai nos dar o vetor tangente antes de normalizar.
r,'(t) = ddt(a cos t, i + a sin t, j + t, k) = -a sin t, i + a cos t, j + k

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor velocidade para obter o vetor tangente unitário t. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
A magnitude de r,'(t) é:
|r,'(t)| = raiz(-a sin t)^2 + (a cos t)^2 + 1^2 = raiza^2 sin^2 t + a^2 cos^2 t + 1 = raiza^2 (sin^2 t + cos^2 t) + 1 = raiza^2 + 1
Então, o vetor tangente unitário é:
t = r,'(t)|r,'(t)| = 1raiza^2 + 1 ( -a sin t, i + a cos t, j + k )

Passo 4

Para encontrar o vetor normal n, precisamos calcular a derivada do vetor tangente t em relação a t e depois normalizar.
Primeiro, derivamos t:
t,'(t) = 1raiza^2 + 1 ( -a cos t, i - a sin t, j + 0, k ) = 1raiza^2 + 1 ( -a cos t, i - a sin t, j )
A magnitude de t,'(t) é:
|t,'(t)| = 1raiza^2 + 1 raiz(-a cos t)^2 + (-a sin t)^2 = 1raiza^2 + 1 raiza^2 cos^2 t + a^2 sin^2 t = 1raiza^2 + 1 raiza^2 (cos^2 t + sin^2 t) = araiza^2 + 1
Então, o vetor normal unitário é:
n = t,'(t)|t,'(t)| = 1raiza^2 + 1 ( -a cos t, i - a sin t, j )araiza^2 + 1 = -a cos t, i - a sin t, ja = -cos t, i - sin t, j

Passo 5

Por fim, vamos determinar o vetor binormal b. O vetor binormal é o produto vetorial entre t e n.
Calculando b = t times n:
t = 1raiza^2 + 1 ( -a sin t, i + a cos t, j + k )
n = -cos t, i - sin t, j
Calculando o produto vetorial:
b = t times n = 1raiza^2 + 1 | ccc i & j & k - a sin t & a cos t & 1 - cos t & - sin t & 0 |
Expandindo o determinante:
b = 1raiza^2 + 1 [ i (a cos t cdot 0 - 1 cdot (-sin t)) - j (-a sin t cdot 0 - 1 cdot (-cos t)) + k (-a sin t cdot (-sin t) - a cos t cdot (-cos t)) ]
Simplificando:
b = 1raiza^2 + 1 [ i (0 + sin t) - j (0 + cos t) + k (a sin^2 t + a cos^2 t) ]
b = 1raiza^2 + 1 ( sin t, i - cos t, j + a (sin^2 t + cos^2 t), k )
Como sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
b = 1raiza^2 + 1 ( sin t, i - cos t, j + a, k )

Resposta

t = 1raiza^2+1 ( -a sin t, i + a cos t, j + k ) ; n = -cos t, i - sin t, j ; b = 1raiza^2+1 ( sin t, i - cos t, j + a, k )

Exercícios relacionados