Determine o Triedo de Frenet para a hélice circular .
Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente precisa determinar o Tríduo de Frenet para uma hélice circular dada pela função vetorial . O Tríduo de Frenet é composto por três vetores: o vetor tangente , o vetor normal e o vetor binormal . Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas da função posição e usar as fórmulas do Tríduo de Frenet.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada de em relação a . Isso vai nos dar o vetor tangente antes de normalizar.
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor velocidade para obter o vetor tangente unitário . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
A magnitude de é:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Para encontrar o vetor normal , precisamos calcular a derivada do vetor tangente em relação a e depois normalizar.
Primeiro, derivamos :
A magnitude de é:
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 5
Por fim, vamos determinar o vetor binormal . O vetor binormal é o produto vetorial entre e .
Calculando :
Calculando o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
b = 1raiza^2 + 1 [ i (a cos t cdot 0 - 1 cdot (-sin t)) - j (-a sin t cdot 0 - 1 cdot (-cos t)) + k (-a sin t cdot (-sin t) - a cos t cdot (-cos t)) ]
Simplificando:
b = 1raiza^2 + 1 [ i (0 + sin t) - j (0 + cos t) + k (a sin^2 t + a cos^2 t) ]
b = 1raiza^2 + 1 ( sin t, i - cos t, j + a (sin^2 t + cos^2 t), k )
Como sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
b = 1raiza^2 + 1 ( sin t, i - cos t, j + a, k )
Resposta
t = 1raiza^2+1 ( -a sin t, i + a cos t, j + k ) ; n = -cos t, i - sin t, j ; b = 1raiza^2+1 ( sin t, i - cos t, j + a, k )