Considere a função f(x, y)=-2 x+5 y+4. Determine:
a) Para quais valores de x e y a função tem valor -10 .

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y) = -2x + 5y + 4. Pede-se encontrar os pares (x,y) tais que a função tenha valor -10.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f é -2x + 5y + 4.
  • A condição pedida é f(x,y) = -10.

Passo 2

Escrevendo a condição pedida como uma equação, substituímos f(x,y) por sua expressão:
-2x + 5y + 4 = -10.
Aqui usamos a definição dada e igualamos ao valor pedido.

Passo 3

Vamos simplificar a equação isolando termos constantes. Subtraindo 4 de ambos os lados (operação válida em equações) obtemos:
-2x + 5y = -14.
Expliquei: subtrair o mesmo número de ambos os lados mantém a igualdade.

Passo 4

Agora isolo y para expressar todos os pares (x,y) possíveis. Primeiro somo 2x em ambos os lados:
5y = 2x - 14.
Em seguida divido ambos os lados por 5 (divisão por número não nulo é válida):
y = \frac{2}{5}x - \frac{14}{5}.
Isto significa que, para qualquer escolha de x, o valor de y que satisfaz a equação é dado por essa fórmula.

Passo 5

Interpretação prática e verificação: a solução é uma reta no plano (x,y) com coeficiente angular (inclinação) \frac{2}{5} e ordenada na origem -\frac{14}{5}. Exemplos rápidos (use para checar na prova):
  • Se x=0, então y = -\dfrac{14}{5}.
  • Se x=7, então y = \dfrac{2}{5}\cdot 7 - \dfrac{14}{5} = 0. Logo (7,0) é solução.
  • Se x=5, então y = \dfrac{2}{5}\cdot 5 - \dfrac{14}{5} = -\dfrac{4}{5}.

Passo 6

Forma paramétrica (útil em prova): tomando um parâmetro t\in\mathbb{R} para representar x,
x=t,\qquad y=\frac{2}{5}t-\frac{14}{5}.
Isso descreve exatamente todos os pares (x,y) que fazem f(x,y)=-10.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y = \dfrac{2}{5}x - \dfrac{14}{5}\}

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