Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
b) f(x, y)=\sqrt{4-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente o domínio da função f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}.
  • Não há outras restrições explícitas além da expressão da função.
O que precisamos achar precisamente: o conjunto de todos os pontos (x,y) para os quais a expressão dada está bem definida como número real (ou seja, onde as raízes quadradas existem no conjunto dos reais).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e direta): uma raiz quadrada real \sqrt{A} está definida em números reais somente se o radicando A for maior ou igual a zero. Isso significa que, sempre que aparecer \sqrt{\text{algo}}, devemos exigir
\text{algo} \ge 0.
Exemplo pequeno para treinar a ideia: a função g(x)=\sqrt{x} tem domínio \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}. Aqui vamos aplicar a mesma ideia aos dois radicandos separados da função.

Passo 3

Aplicando a condição de existência para cada raiz na função dada.
Para a primeira raiz temos o radicando 4-x^{2}. Exigimos
4-x^{2}\ge 0.
Resolver essa desigualdade:
4-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 4.
Tomando raiz (lembrando que |x|=\sqrt{x^{2}}), obtemos
|x|\le 2 \quad\Longleftrightarrow\quad -2\le x\le 2.
Portanto a primeira condição impõe que x esteja no intervalo [-2,2].

Passo 4

Agora a segunda raiz tem o radicando 1-y^{2}. Exigimos
1-y^{2}\ge 0.
Resolver:
1-y^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}\le 1.
Tomando raiz:
|y|\le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1\le y\le 1.
Portanto a segunda condição impõe que y esteja no intervalo [-1,1].

Passo 5

Combinação das condições: as duas raízes são independentes (uma depende só de x e outra só de y), então o domínio da função é o conjunto de todos os pares (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas condições. Logo o domínio é o produto cartesiano dos intervalos encontrados:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -2\le x\le 2,\\\ -1\le y\le 1\}.

Passo 6

Como representar graficamente esse domínio no plano xy:
  • É um retângulo fechado com vértices nos pontos (-2,-1), (2,-1), (2,1) e (-2,1).
  • As fronteiras x=-2, x=2, y=-1 e y=1 estão incluídas, porque as desigualdades são do tipo \le.
    Instruções práticas para desenhar à mão:
  1. Desenhar os eixos x e y.
  2. Marcar em x os pontos -2 e 2; em y marcar -1 e 1.
  3. Ligar os pontos para formar o retângulo e sombrear (ou preencher) a região interior e a borda — essa é a região do domínio.
    Exemplos de pontos para verificar mentalmente:
  • (0,0) pertence ao domínio (ambas as raízes existem).
  • (2,1) pertence ao domínio (radicandos iguais a zero).
  • (2{,}1,0) não pertence (a notação aqui seria (2{,}1,0) inválida; exemplo correto: (2{,}1,0) não faz sentido — cuidado com vírgulas; um ponto fora: (2{,}1,0) é erro de escrita. Um ponto fora válido: (2{,}1+0{,}1) com y=1{,}1 não pertence).
    Correção e clareza: pontos fora do domínio são, por exemplo, (2{,}1,0) está mal escrito — melhor exemplo: (2{,}1) com y=1{,}1 (i.e. (2,1{,}1)) não pertence porque y>1. Outro ponto fora: (2{,}1) com x=2{,}1 (i.e. (2{,}1) em notação decimal) não pertence porque x>2.

Passo 7

Resumo didático e motivador: a restrição de cada raiz produz um intervalo em uma única variável; como as variáveis aparecem separadas dentro das raízes, o domínio é simplesmente o retângulo formado por esses intervalos. No dia da prova, ao ver uma soma de raízes em variáveis diferentes, pense sempre: tratar cada radicando separadamente e depois intersectar as condições. Dá pra fazer rápido e sem calculadora — sucesso, você consegue!

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -2\le x\le 2,\\\ -1\le y\le 1\}

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