Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - Não há outras restrições explícitas além da expressão da função.
O que precisamos achar precisamente: o conjunto de todos os pontos
para os quais a expressão dada está bem definida como número real (ou seja, onde as raízes quadradas existem no conjunto dos reais).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e direta): uma raiz quadrada real
está definida em números reais somente se o radicando
for maior ou igual a zero. Isso significa que, sempre que aparecer
, devemos exigir
Exemplo pequeno para treinar a ideia: a função
tem domínio
. Aqui vamos aplicar a mesma ideia aos dois radicandos separados da função.
Passo 3
Aplicando a condição de existência para cada raiz na função dada.
Para a primeira raiz temos o radicando
. Exigimos
Resolver essa desigualdade:
Tomando raiz (lembrando que
), obtemos
Portanto a primeira condição impõe que
esteja no intervalo
.
Passo 4
Agora a segunda raiz tem o radicando
. Exigimos
Resolver:
Tomando raiz:
Portanto a segunda condição impõe que
esteja no intervalo
.
Passo 5
Combinação das condições: as duas raízes são independentes (uma depende só de
e outra só de
), então o domínio da função é o conjunto de todos os pares
que satisfazem simultaneamente as duas condições. Logo o domínio é o produto cartesiano dos intervalos encontrados:
Passo 6
Como representar graficamente esse domínio no plano
:
- É um retângulo fechado com vértices nos pontos
, , e . - As fronteiras
, , e estão incluídas, porque as desigualdades são do tipo .
Instruções práticas para desenhar à mão:
- Desenhar os eixos
e . - Marcar em
os pontos e ; em marcar e . - Ligar os pontos para formar o retângulo e sombrear (ou preencher) a região interior e a borda — essa é a região do domínio.
Exemplos de pontos para verificar mentalmente:
-
pertence ao domínio (ambas as raízes existem). -
pertence ao domínio (radicandos iguais a zero). -
não pertence (a notação aqui seria inválida; exemplo correto: não faz sentido — cuidado com vírgulas; um ponto fora: é erro de escrita. Um ponto fora válido: com não pertence).
Correção e clareza: pontos fora do domínio são, por exemplo,está mal escrito — melhor exemplo: com (i.e. ) não pertence porque . Outro ponto fora: com (i.e. em notação decimal) não pertence porque .
Passo 7
Resumo didático e motivador: a restrição de cada raiz produz um intervalo em uma única variável; como as variáveis aparecem separadas dentro das raízes, o domínio é simplesmente o retângulo formado por esses intervalos. No dia da prova, ao ver uma soma de raízes em variáveis diferentes, pense sempre: tratar cada radicando separadamente e depois intersectar as condições. Dá pra fazer rápido e sem calculadora — sucesso, você consegue!