Considere a função f(x, y)=-2 x+5 y+4. Determine:
b) 20 pontos (x, y) cujo valor f(x, y)=2.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=-2x+5y+4\, e pede, na parte (b), que sejam fornecidos 20 pontos (x,y) tais que \,f(x,y)=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f(x,y) é -2x+5y+4.
  • Deve-se encontrar 20 pares (x,y) que satisfaçam a equação \,f(x,y)=2.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a condição pedida substituindo f(x,y) por sua expressão:
-2x+5y+4=2.
Agora simplificamos a equação para deixar em forma mais direta:
-2x+5y=-2.
Isolando y em função de x:
5y=2x-2\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2x-2}{5}.
Interpretação: todos os pares (x,y) que satisfazem \,y=\dfrac{2x-2}{5} são soluções; geometricamente é uma reta no plano.

Passo 3

Para gerar 20 pontos concretos, podemos escolher valores para x (parâmetro livre) e calcular y pela fórmula \,y=\dfrac{2x-2}{5}.
Se quisermos obter y inteiro (para ficar mais simples), precisamos que 2x-2 seja múltiplo de 5. Em notação modular:
2x-2\equiv0\pmod{5}\quad\Rightarrow\quad 2x\equiv2\pmod{5}.
Multiplicando ambos os lados por 3 (inverso de 2 módulo 5, porque 3\cdot2\equiv1\pmod{5}), obtemos
x\equiv1\pmod{5}.
Logo todos os x da forma x=1+5k (com k inteiro) produzem y inteiro. Substituindo x=1+5k em y=\dfrac{2x-2}{5}:
y=\frac{2(1+5k)-2}{5}=\frac{2+10k-2}{5}=\frac{10k}{5}=2k.
Portanto a parametrização inteira das soluções é
x=1+5k,\qquad y=2k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Verificação rápida substituindo a parametrização na função:
f(1+5k,\,2k)=-2(1+5k)+5(2k)+4=-2-10k+10k+4=2,
confirmando que qualquer k inteiro gera uma solução.

Passo 5

Escolhemos 20 valores distintos de k para listar 20 pontos. Uma escolha simples é k=0,1,2,\dots,19. Para esses k temos:
x=1+5k,\qquad y=2k.
Calculando explicitamente para k=0,1,\dots,19 obtemos os 20 pares abaixo.

Resposta

(1,0)
(6,2)
(11,4)
(16,6)
(21,8)
(26,10)
(31,12)
(36,14)
(41,16)
(46,18)
(51,20)
(56,22)
(61,24)
(66,26)
(71,28)
(76,30)
(81,32)
(86,34)
(91,36)
(96,38)

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