Responda os itens a seguir:
Considere as funções f e g definidas por
f(x, y)=ll x^37 x^2+7 y^2, & se (x, y) neq(0,0), K, & se (x, y)=(0,0), g(x, y)=ll xraizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) L, & se (x, y)=(0,0)
É possível encontrar valores para K e L de maneira que f e g sejam contínuas em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para escolher valores de K e L de modo que f e g sejam contínuas em (0,0). Para isso vamos usar a definição: uma função h é contínua em (0,0) se existir e for único lim(x,y)to(0,0)h(x,y) e esse valor for igual a h(0,0).

Passo 2

Analisando f, temos para (x,y)neq(0,0) a expressão
x^37x^2+7y^2
Observe que
l|x^37x^2+7y^2r| = |x|^37(x^2+y^2) = |x|7cdotx^2x^2+y^2 <= |x|7
Como (x,y)to(0,0) implica |x|to0, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)x^37x^2+7y^2 = 0
Logo, para f ser contínua em (0,0), basta escolher K=0.

Passo 3

Agora analisando g, para (x,y)neq(0,0) temos
xraizx^2+y^2
Se aproximamos por y=0 com x>0, o valor tende a
x|x|=1
Porém, se aproximamos por x=0 (tomando y\to0), a expressão vale
0,
mostrando que o limite depende do caminho. Como não existe limite único, não há valor de L que satisfaça continuidade de g em (0,0).

Resposta

f é contínua em (0,0) se e somente se K=0; g não pode ser contínua em (0,0) para nenhum valor de L.

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