Responda os itens a seguir:
Considere as funções e definidas por
É possível encontrar valores para e de maneira que e sejam contínuas em ? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para escolher valores de K e L de modo que f e g sejam contínuas em (0,0). Para isso vamos usar a definição: uma função h é contínua em (0,0) se existir e for único e esse valor for igual a h(0,0).
Passo 2
Analisando f, temos para a expressão
Observe que
Como (x,y)to(0,0) implica |x|to0, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)x^37x^2+7y^2 = 0
Logo, para f ser contínua em (0,0), basta escolher K=0.
Passo 3
Agora analisando g, para (x,y)neq(0,0) temos
xraizx^2+y^2
Se aproximamos por y=0 com x>0, o valor tende a
x|x|=1
Porém, se aproximamos por x=0 (tomando y\to0), a expressão vale
0,
mostrando que o limite depende do caminho. Como não existe limite único, não há valor de L que satisfaça continuidade de g em (0,0).
Resposta
f é contínua em (0,0) se e somente se K=0; g não pode ser contínua em (0,0) para nenhum valor de L.