Considere a função diferenciável f(x, y)=3 x^2-x y, e os pontos A=(1,2) e B=(1,01 ; 1,98)
Escreva a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto (1,2, f(A));

Passo 1

Resumo do enunciado e o que precisamos: temos a função diferenciável f(x,y)=3x^2-xy e queremos a equação do plano tangente ao gráfico z=f(x,y) no ponto (1,2,f(1,2)). Para isso, vamos usar a fórmula do plano tangente a uma superfície definida por z=f(x,y), que exige o cálculo das derivadas parciais de f.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial x(3x^2 - xy)=6x - y
fy(x,y)=partialpartial y(3x^2 - xy)=-x

Passo 3

Avaliação em (1,2):
fx(1,2)=6cdot1-2=4
fy(1,2)=-1
E também
f(1,2)=3cdot1^2-1cdot2=1

Passo 4

Formação do plano tangente e simplificação: substituindo x0=1, y0=2, z0=1, fx(1,2)=4 e fy(1,2)=-1 na fórmula
z - z0 = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)
ficamos com
z - 1 = 4(x - 1) -1,(y - 2)
Expandindo:
z - 1 = 4x -4 - y +2
Logo,
z = 4x - y -1

Resposta

z = 4x - y -1

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