Considere a função de duas variáveis dada por f(x, y)=\frac{\sqrt{y-x^{2}}}{1-x^{2}}.
(a) Determine e esboce o domínio de f.
(b) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} f(x, y).
(c) Qual é o maior conjunto em que f é contínua?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{\sqrt{y-x^{2}}}{1-x^{2}} e pede três coisas:
  • (a) determinar e esboçar o domínio de f;
  • (b) calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,1)} f(x,y);
  • (c) identificar o maior conjunto em que f é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (lista de condições que surgem da fórmula):
  • A raiz quadrada \sqrt{y-x^{2}} exige que o seu argumento seja não negativo, isto é, y-x^{2}\ge 0.
  • O denominador 1-x^{2} não pode ser zero, então 1-x^{2}\neq 0, isto é, x\neq \pm 1.
  • A função é definida para todos os pares (x,y) que satisfazem ambas as condições acima.

Passo 2

Encontrar o domínio pela tradução das condições em conjunto:
  • Condição da raiz: y-x^{2}\ge 0 equivale a y\ge x^{2}. Isso descreve a região no plano que está sobre (ou sobrepondo) a parábola y=x^{2}.
  • Condição do denominador: x\neq \pm 1. Isso significa que, mesmo se y\ge x^{2}, devemos excluir todos os pontos com x=1 ou x=-1 (toda a reta vertical x=1 e x=-1 para os y onde a raiz estaria definida).
    Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge x^{2},\; x\neq \pm 1\}.

Passo 3

Descrever e esboçar geometricamente o domínio (como desenhar na prova):
  • A curva limite y=x^{2} é a parábola com vértice em (0,0). A região y\ge x^{2} é a região acima e incluindo essa parábola.
  • A seguir, remover da região as linhas verticais x=1 e x=-1. Para x=\pm 1 e y\ge 1 a expressão estaria indeterminada por divisão por zero, então esses pontos são excluídos.
  • No esboço: desenhe a parábola y=x^{2}, sombreie a região acima dela (incluindo a parábola), e trace com traço pontilhado ou marque que as retas verticais x=1 e x=-1 estão removidas (buracos na região ao longo dessas retas).

Passo 4

Calcular o limite em (0,1). Primeiro verificar se (0,1) pertence ao domínio:
  • Avaliar y-x^{2} em (0,1): 1-0^{2}=1\ge 0.
  • Verificar x\neq \pm 1: 0\neq \pm 1.
    Assim (0,1)\in D. Quando o ponto é interior ao domínio (há uma pequena vizinhança totalmente contida em D), podemos usar continuidade das operações elementares. Vou construir uma vizinhança explícita para garantir isso:
  • Se |x|<\tfrac{1}{2} então x^{2}<\tfrac{1}{4}.
  • Se |y-1|<\tfrac{1}{2} então y> \tfrac{1}{2}.
    Com essas duas restrições, para pontos dessa vizinhança temos y-x^{2}>\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}>0 e também |x|<\tfrac{1}{2} implica x\neq \pm 1. Portanto existe uma vizinhança de (0,1) contida em D.

Passo 5

Usar continuidade por composição de funções elementares:
  • A função (x,y)\mapsto y-x^{2} é polinomial, logo contínua.
  • A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua em [0,\infty).
  • A função (x,y)\mapsto 1-x^{2} é contínua e não nula na vizinhança escolhida.
  • A divisão por uma função contínua não nula é contínua.
    Portanto f(x,y)=\dfrac{\sqrt{y-x^{2}}}{1-x^{2}} é contínua na vizinhança de (0,1), logo
\lim_{(x,y)\to(0,1)} f(x,y)=f(0,1).

Passo 6

Calcular o valor direto:
  • f(0,1)=\dfrac{\sqrt{1-0^{2}}}{1-0^{2}}=\dfrac{\sqrt{1}}{1}=1.
    Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,1)} f(x,y)=1.

Passo 7

Determinar o maior conjunto de continuidade. Observações gerais:
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty).
  • A função polinomial y-x^{2} é contínua em \mathbb{R}^{2}.
  • A composição (x,y)\mapsto \sqrt{y-x^{2}} é, portanto, contínua em \{(x,y)\mid y-x^{2}\ge 0\}.
  • A função 1-x^{2} é contínua, e a operação de divisão por uma função contínua só é contínua nos pontos onde o denominador é diferente de zero.
Assim f é contínua exatamente em todos os pontos onde está definida, ou seja, em todo o domínio D encontrado antes. Não é possível estender a continuidade para pontos com x=\pm 1, porque aí 1-x^{2}=0 e a função explode ou é indeterminada: por exemplo, aproximando (1,1) por pontos com y=1 e x\to 1^{-} tem-se
f(x,1)=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{1-x^{2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\to +\infty,
logo não existe limite finito em (1,1). Portanto não há como incluir x=\pm 1 mantendo continuidade.
Conclui-se que o maior conjunto de continuidade é exatamente o domínio
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge x^{2},\; x\neq \pm 1\}.

Resposta

(a) \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge x^{2},\; x\neq \pm 1\}.
(b) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,1)} f(x,y)=1.
(c) O maior conjunto em que f é contínua é \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge x^{2},\; x\neq \pm 1\}.

Exercícios relacionados