Considere a função de duas variáveis dada por
.
(a) Determine e esboce o domínio de
.
(b) Calcule
.
(c) Qual é o maior conjunto em que
é contínua?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) determinar e esboçar o domínio de
; - (b) calcular
; - (c) identificar o maior conjunto em que
é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (lista de condições que surgem da fórmula):
- A raiz quadrada
exige que o seu argumento seja não negativo, isto é, . - O denominador
não pode ser zero, então , isto é, . - A função é definida para todos os pares
que satisfazem ambas as condições acima.
Passo 2
Encontrar o domínio pela tradução das condições em conjunto:
- Condição da raiz:
equivale a . Isso descreve a região no plano que está sobre (ou sobrepondo) a parábola . - Condição do denominador:
. Isso significa que, mesmo se , devemos excluir todos os pontos com ou (toda a reta vertical e para os onde a raiz estaria definida).
Logo o domínio é
Passo 3
Descrever e esboçar geometricamente o domínio (como desenhar na prova):
- A curva limite
é a parábola com vértice em . A região é a região acima e incluindo essa parábola. - A seguir, remover da região as linhas verticais
e . Para e a expressão estaria indeterminada por divisão por zero, então esses pontos são excluídos. - No esboço: desenhe a parábola
, sombreie a região acima dela (incluindo a parábola), e trace com traço pontilhado ou marque que as retas verticais e estão removidas (buracos na região ao longo dessas retas).
Passo 4
Calcular o limite em
. Primeiro verificar se
pertence ao domínio:
- Avaliar
em : . - Verificar
: .
Assim. Quando o ponto é interior ao domínio (há uma pequena vizinhança totalmente contida em ), podemos usar continuidade das operações elementares. Vou construir uma vizinhança explícita para garantir isso: - Se
então . - Se
então .
Com essas duas restrições, para pontos dessa vizinhança temose também implica . Portanto existe uma vizinhança de contida em .
Passo 5
Usar continuidade por composição de funções elementares:
- A função
é polinomial, logo contínua. - A função
é contínua em . - A função
é contínua e não nula na vizinhança escolhida. - A divisão por uma função contínua não nula é contínua.
Portantoé contínua na vizinhança de , logo
Passo 6
Calcular o valor direto:
-
Portanto
Passo 7
Determinar o maior conjunto de continuidade. Observações gerais:
- A raiz quadrada
é contínua em . - A função polinomial
é contínua em . - A composição
é, portanto, contínua em . - A função
é contínua, e a operação de divisão por uma função contínua só é contínua nos pontos onde o denominador é diferente de zero.
Assim
é contínua exatamente em todos os pontos onde está definida, ou seja, em todo o domínio
encontrado antes. Não é possível estender a continuidade para pontos com
, porque aí
e a função explode ou é indeterminada: por exemplo, aproximando
por pontos com
e
tem-se
logo não existe limite finito em
. Portanto não há como incluir
mantendo continuidade.
Conclui-se que o maior conjunto de continuidade é exatamente o domínio
Resposta
(a)
(b)
(c) O maior conjunto em que
é contínua é