Determine \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, sendo z uma função implícita de x e y na equaçāo
x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1,
onde z é uma função implícita de x e y. As perguntas são:
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona x, y e z.
  • Queremos derivadas parciais de z em relação a x e em relação a y, ou seja, tratar uma variável independente por vez (por exemplo, para \partial z/\partial x consideramos y constante).

Passo 2

Vamos explicar a ferramenta que vamos usar: quando temos uma relação F(x,y,z)=0 que define z implicitamente, ao derivar em relação a x (com y fixo) aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia para funções compostas diz que, ao derivar uma função de z(x,y), multiplica-se pela derivada de z. Por exemplo, a derivada parcial de z^{2} em relação a x é
\frac{\partial}{\partial x}\big(z^{2}\big)=2z\cdot\frac{\partial z}{\partial x}.
Isso porque z^{2} é função de z e z é função de x e y.

Passo 3

Aplicando esse procedimento à equação dada e derivando parcialmente em relação a x (tratando y como constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2y^{2})=0 porque y é constante.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(3z^{2})=3\cdot 2z\cdot\dfrac{\partial z}{\partial x}=6z\cdot\dfrac{\partial z}{\partial x}.
Derivando os dois lados da igualdade \,x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1 em relação a x obtemos:
2x + 0 + 6z\frac{\partial z}{\partial x} = 0.
Agora isolamos \dfrac{\partial z}{\partial x}:
6z\frac{\partial z}{\partial x} = -2x \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{6z} = -\frac{x}{3z}.

Passo 4

Agora fazemos o mesmo para \dfrac{\partial z}{\partial y}: derivamos parcialmente em relação a y (agora x é tratado como constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2y^{2})=4y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(3z^{2})=6z\cdot\dfrac{\partial z}{\partial y}.
Derivando a equação em relação a y obtemos:
0 + 4y + 6z\frac{\partial z}{\partial y} = 0.
Isolando \dfrac{\partial z}{\partial y}:
6z\frac{\partial z}{\partial y} = -4y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{4y}{6z} = -\frac{2y}{3z}.

Passo 5

Observações importantes e dica prática:
  • As fórmulas obtidas exigem z\neq 0 porque aparece z no denominador. Isso está ligado ao fato de que, para haver uma função z(x,y) localmente bem definida e diferenciável pela regra implícita, precisa-se que \partial F/\partial z \neq 0. Aqui F_z=6z, então se z=0 o teorema da função implícita não garante (e geralmente não existe) uma expressão diferenciável z(x,y) naquele ponto.
  • Uma forma geral e rápida: para F(x,y,z)=0,
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z},
onde F_x,F_y,F_z são as derivadas parciais de F. Aplicando a F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-1 obtém-se as mesmas respostas: F_x=2x, F_y=4y, F_z=6z.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{3z}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2y}{3z}

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