Determine
e
, sendo
uma função implícita de
e
na equaçāo
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
onde
é uma função implícita de
e
. As perguntas são:
- Determinar
. - Determinar
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona
, e . - Queremos derivadas parciais de
em relação a e em relação a , ou seja, tratar uma variável independente por vez (por exemplo, para consideramos constante).
Passo 2
Vamos explicar a ferramenta que vamos usar: quando temos uma relação
que define
implicitamente, ao derivar em relação a
(com
fixo) aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia para funções compostas diz que, ao derivar uma função de
, multiplica-se pela derivada de
. Por exemplo, a derivada parcial de
em relação a
é
Isso porque
é função de
e
é função de
e
.
Passo 3
Aplicando esse procedimento à equação dada e derivando parcialmente em relação a
(tratando
como constante):
-
. -
porque é constante. -
.
Derivando os dois lados da igualdade
em relação a
obtemos:
Agora isolamos
:
Passo 4
Agora fazemos o mesmo para
: derivamos parcialmente em relação a
(agora
é tratado como constante).
-
. -
. -
.
Derivando a equação em relação a
obtemos:
Isolando
:
Passo 5
Observações importantes e dica prática:
- As fórmulas obtidas exigem
porque aparece no denominador. Isso está ligado ao fato de que, para haver uma função localmente bem definida e diferenciável pela regra implícita, precisa-se que . Aqui , então se o teorema da função implícita não garante (e geralmente não existe) uma expressão diferenciável naquele ponto. - Uma forma geral e rápida: para
,
onde
são as derivadas parciais de
. Aplicando a
obtém-se as mesmas respostas:
,
,
.