Considere a função de duas variáveis definida por:
f(x, y)= x^3+y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) f é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)= x^3+y^3x^2+y^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para mostrar que f é contínua em (0,0) precisamos provar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0

Passo 2

Para calcular o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) usamos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, r>=0
Então, quando (x,y)neq(0,0),
f(r,theta)=r^3(cos^3theta+sin^3theta)r^2=rl(cos^3theta+sin^3thetar)
Como
l|cos^3theta+sin^3thetar|<=|cos^3theta|+|sin^3theta|<=1+1=2,
temos
|f(r,theta)|<=2r
Quando rto0, 2rto0, logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

Sim. A função é contínua em (0,0) porque lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).

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