Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas : sen se
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de uma função 2π–periódica definida em (–π,π] por f(x)=x
sin
x. Vamos usar o fato de essa função ser par (produto de duas ímpares), de modo que só aparecem termos em cosseno.
Passo 2
Como f é par, temos b_n=0 para todo n. O coeficiente a_0 é dado por
Passo 3
Para calcular , usamos integração por partes: seja u=x e dv=\sin x,dx. Então Logo a0=2picdotpi=2
Passo 4
Os coeficientes em cosseno são an=1piintegral-pi^pixsin xcos(nx),dx=2piintegral0^pixsin xcos(nx),dx Usamos produto a soma: sin xcos(nx)=tfrac12[sin((n+1)x)+sin((1-n)x)] e a fórmula integral0^pixsin(ax)dx=-picos(api)/a
Fazendo as contas obtemos, para n>1, an=-2(-1)^nn^2-1=2(-1)^n+1n^2-1, e para n=1 encontramos diretamente a1=-tfrac12