Supondo que as funções abaixo sejam 2 pi - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
f(x)=x sen x se x in]-pi, pi]

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de uma função 2π–periódica definida em (–π,π] por f(x)=x
sin
x. Vamos usar o fato de essa função ser par (produto de duas ímpares), de modo que só aparecem termos em cosseno.

Passo 2

Como f é par, temos b_n=0 para todo n. O coeficiente a_0 é dado por a0=1piintegral-pi^pif(x),dx=2piintegral0^pixsin x,dx

Passo 3

Para calcular integral0^pixsin x,dx, usamos integração por partes: seja u=x e dv=\sin x,dx. Então integral0^pixsin x,dx=-xcos x|0^pi+integral0^picos x,dx=-picospi+sin x|0^pi=pi Logo a0=2picdotpi=2

Passo 4

Os coeficientes em cosseno são an=1piintegral-pi^pixsin xcos(nx),dx=2piintegral0^pixsin xcos(nx),dx Usamos produto a soma: sin xcos(nx)=tfrac12[sin((n+1)x)+sin((1-n)x)] e a fórmula integral0^pixsin(ax)dx=-picos(api)/a
Fazendo as contas obtemos, para n>1, an=-2(-1)^nn^2-1=2(-1)^n+1n^2-1, e para n=1 encontramos diretamente a1=-tfrac12

Passo 5

Portanto, a série de Fourier fica
f(x)=a02+sumn=1^inftyancos(nx)=1-tfrac12cos x+sumn=2^infty2(-1)^n+1n^2-1cos(nx)

Resposta

f(x)=1-\tfrac12\cos x+\displaystyle\sum_{n=2}{\infty}\frac{2(-1){n+1}}{n^2-1}\cos(nx),\quad b_n=0

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