e pergunta se f é contínua em (0,0). Para isso, vamos estudar \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) — isto é, verificar se o valor de f ao se aproximar de (0,0) coincide com f(0,0)=0.]
Passo 2
Quando y\neq x, fatoramos numerador e denominador:
x^{2}y - x y^{2} = x y (x-y), \quad x^{3}-y^{3} = (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}),
logo, para y\neq x,
f(x,y) = \frac{x y (x-y)}{(x-y)\,\bigl(x^{2}+xy+y^{2}\bigr)} = \frac{x y}{x^{2}+xy+y^{2}}.
Passo 3
Para testar a existência do limite, escolhemos a reta y=-x (que satisfaz y\neq x sempre que x\neq0).
Substituindo y=-x na forma simplificada, obtemos