Considere a função de duas variáveis definida por
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y-x y^{2}}{x^{3}-y^{3}}, & \text { se } y \neq x \\\\ 0, & \text { se } y=x\end{cases}
f é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y - x y^{2}}{x^{3}-y^{3}},&\text{se }y\neq x,\\[6pt] 0,&\text{se }y=x, \end{cases}
e pergunta se f é contínua em (0,0). Para isso, vamos estudar \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) — isto é, verificar se o valor de f ao se aproximar de (0,0) coincide com f(0,0)=0.]

Passo 2

Quando y\neq x, fatoramos numerador e denominador:
x^{2}y - x y^{2} = x y (x-y), \quad x^{3}-y^{3} = (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}),
logo, para y\neq x,
f(x,y) = \frac{x y (x-y)}{(x-y)\,\bigl(x^{2}+xy+y^{2}\bigr)} = \frac{x y}{x^{2}+xy+y^{2}}.

Passo 3

Para testar a existência do limite, escolhemos a reta y=-x (que satisfaz y\neq x sempre que x\neq0).
Substituindo y=-x na forma simplificada, obtemos
f\bigl(x,-x\bigr) = \frac{x\cdot(-x)}{x^{2}+x(-x)+(-x)^{2}} = \frac{-x^{2}}{x^{2}-x^{2}+x^{2}} = \frac{-x^{2}}{x^{2}} = -1.
Assim,
\lim_{x\to0} f\bigl(x,-x\bigr) = -1.

Passo 4

Por outro lado, se nos aproximamos de (0,0) ao longo da reta y=x, vale por definição f(x,x)=0, logo
\lim_{x\to0} f(x,x) = 0.
Como dois caminhos dão limites diferentes -1 e 0, o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

f não é contínua em (0,0).

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