Determine as direções em que a derivada direcional de
f(x, y)=\operatorname{sen}(x y)-y \mathrm{e}^{x^{2}}
no ponto P=(0,1) assume:
a) o valor 1 ;
b) o valor 2 .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\operatorname{sen}(x y)-y\,e^{x^{2}}
e pede as direções unitárias \mathbf{u} em que a derivada direcional
D_{\mathbf{u}}f(P)=1\quad\text{ou}\quad D_{\mathbf{u}}f(P)=2
no ponto P=(0,1). O conteúdo que vamos usar é que
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}
com \mathbf{u} unitário.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = y\cos(xy)-y\cdot2x\,e^{x^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cos(xy)-e^{x^{2}}.

Passo 3

Avaliando em P=(0,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,1) =1\cdot\cos(0)-0=1, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,1) =0\cdot\cos(0)-1=-1.
Logo \nabla f(0,1)=(1,\,-1).

Passo 4

Seja \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) com u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=1. Então
D_{\mathbf{u}}f(0,1)=\nabla f(0,1)\cdot\mathbf{u} =1\cdot u_{1}+(-1)\cdot u_{2}=u_{1}-u_{2}.

Passo 5

Para D_{\mathbf{u}}f(0,1)=1\) resolvemos \[\begin{cases} u_{1}-u_{2}=1,\\\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=1. \end{cases}
Da primeira equação u_{2}=u_{1}-1\]. Substituindo na segunda: \[u_{1}^{2}+(u_{1}-1)^{2}=1 \;\Longrightarrow\; 2u_{1}^{2}-2u_{1}=0 \;\Longrightarrow\; u_{1}=0\text{ ou }1.\] Se \(u_{1}=1 então u_{2}=0, e se u_{1}=0 então u_{2}=-1. Assim as duas direções são \mathbf{u}=(1,0) e \mathbf{u}=(0,-1).

Passo 6

Para D_{\mathbf{u}}f(0,1)=2 requereríamos
u_{1}-u_{2}=2, \quad u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=1.
Mas o máximo de |u_{1}-u_{2}| para vetores unitários é \|\,(1,-1)\|= \sqrt{2}<2. Logo não há solução.

Resposta

a) As direções são \mathbf{u}=(1,0) ou \mathbf{u}=(0,-1).
b) Não existe direção unitária em que a derivada direcional valha 2.

Exercícios relacionados