Considere a função de duas variáveis definida por
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y-x y^{2}}{x^{3}-y^{3}}, & \text { se } y \neq x \\\\ 0, & \text { se } y=x\end{cases}
f é contínua em (1,-1) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^{2}y - x y^{2}}{x^{3}-y^{3}}, & y\neq x,\\\\ 0, & y=x, \end{cases}
e pergunta se f é contínua em (1,-1). Para isso, precisamos calcular f(1,-1) e o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(1,-1) e verificar se são iguais.

Passo 2

Como em (1,-1) temos y\neq x, usamos a fórmula do quociente. O valor de f no ponto é
f(1,-1) =\frac{1^{2}\cdot(-1)-1\cdot(-1)^{2}}{1^{3}-(-1)^{3}} =\frac{-1-1}{1-(-1)} =\frac{-2}{2} =-1.

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, fatoramos numerador e denominador quando y\neq x:
f(x,y) =\frac{x^{2}y - x y^{2}}{x^{3}-y^{3}} =\frac{x y\,(x-y)}{(x-y)\,(x^{2}+x y+y^{2})} =\frac{x y}{\,x^{2}+x y+y^{2}\,}.

Passo 4

A função simplificada \frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}} é contínua no ponto (1,-1), pois seu denominador em (1,-1) é
1^{2}+1\cdot(-1)+(-1)^{2}=1-1+1=1\neq0.
Logo,
\lim_{(x,y)\to(1,-1)}f(x,y) =\frac{1\cdot(-1)}{1-1+1} =-1.

Passo 5

Como
\lim_{(x,y)\to(1,-1)}f(x,y)=-1 \quad\text{e}\quad f(1,-1)=-1,
concluímos que f é contínua em (1,-1).

Resposta

A função f é contínua em (1,-1), pois o limite coincide com o valor de f naquele ponto.

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