Considere a função de duas variáveis:
f(x, y)=raizy-x^2y-4
  1. Calcule, se existir, o limite abaixo. Caso não exista, justifique.
lim (x, y) (2,4) f(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função de duas variáveis:
f(x, y) = raizy - x^2y - 4
E queremos calcular o limite quando se aproxima de . Isso envolve o estudo de limites de funções de várias variáveis, onde precisamos verificar se o limite existe ou não, observando se o valor se mantém o mesmo independentemente do caminho que a gente toma para chegar ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de f(2, 4) = raiz4 - 2^24 - 4 = 2 - 40 = -20 e na função:
Aqui, vemos que a função resulta em uma divisão por zero, o que não é definido. Isso indica que precisamos analisar mais a fundo o comportamento da função próxima a .

Passo 3

Para investigar se o limite existe, vamos tentar simplificar a expressão da função. Observamos que o denominador é raizy - x^2y - 4 times raizy + x^2raizy + x^2 = y - x^4(y - 4)(raizy + x^2) , e o numerador é . Sabemos que:
  • Quando se aproxima de 4, se aproxima de 2.
Então, podemos reescrever o numerador de uma forma que nos ajude a cancelar o denominador. Vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
Agora, a expressão ficou mais complicada, então vamos tentar outra abordagem: analisar o limite ao longo de diferentes caminhos.

Passo 4

Vamos verificar o limite ao longo de dois caminhos diferentes para ver se obtemos o mesmo resultado.
Caminho 1: f(x, 4) = raiz4 - x^24 - 4 = 2 - x^20 .
Substituindo f(2, y) = raizy - 4y - 4 na função:
f(2, y) = raizy - 2y - 4 times raizy + 2raizy + 2 = y - 4(y - 4)(raizy + 2) = 1raizy + 2
Aqui, para limy to 4 1raizy + 2 = 12 + 2 = 14 próximo de 2, o numerador tende a e o denominador tende a 0, resultando em uma expressão que não é definida. O comportamento sugere que o limite não existe por este caminho.
Caminho 2: .
Substituindo na função:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :
Agora, ao substituir :

Passo 5

Analisando os dois caminhos:
  • No Caminho 1, o limite não é definido.
  • No Caminho 2, o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho que tomamos para se aproximar de , concluímos que o limite da função quando se aproxima de não existe.

Resposta

O limite não existe porque os valores variam dependendo do caminho de aproximação.

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