Considere a função de duas variáveis:
- Calcule, se existir, o limite abaixo. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função de duas variáveis:
E queremos calcular o limite quando
se aproxima de
. Isso envolve o estudo de limites de funções de várias variáveis, onde precisamos verificar se o limite existe ou não, observando se o valor se mantém o mesmo independentemente do caminho que a gente toma para chegar ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de
e
na função:
Aqui, vemos que a função resulta em uma divisão por zero, o que não é definido. Isso indica que precisamos analisar mais a fundo o comportamento da função próxima a
.
Passo 3
Para investigar se o limite existe, vamos tentar simplificar a expressão da função. Observamos que o denominador é
, e o numerador é
. Sabemos que:
- Quando
se aproxima de 4, se aproxima de 2.
Então, podemos reescrever o numerador de uma forma que nos ajude a cancelar o denominador. Vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
Agora, a expressão ficou mais complicada, então vamos tentar outra abordagem: analisar o limite ao longo de diferentes caminhos.
Passo 4
Vamos verificar o limite ao longo de dois caminhos diferentes para ver se obtemos o mesmo resultado.
Caminho 1:
.
Substituindo
na função:
Aqui, para
próximo de 2, o numerador tende a
e o denominador tende a 0, resultando em uma expressão que não é definida. O comportamento sugere que o limite não existe por este caminho.
Caminho 2:
.
Substituindo
na função:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Agora, ao substituir
:
Passo 5
Analisando os dois caminhos:
- No Caminho 1, o limite não é definido.
- No Caminho 2, o limite é
.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho que tomamos para se aproximar de
, concluímos que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os valores variam dependendo do caminho de aproximação.