Seja f(x, y)=2 x^2+y^2 definida em D=x^2+y^2 <= 1.
2. (1 ponto) Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo e o valor mínimo de f na fronteira partial D=x^2+y^2= 1 e os pontos onde ocorrem esses valores.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a função f(x,y)=2x2+y2 e quer achar os extremos dela restrita à fronteira do disco D, ou seja, ao círculo x2+y2=1. O método será o dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a restrição g(x,y)=x2+y2−1=0 e aplicamos que ∇f=λ∇g. Calculamos os gradientes: ∇f=(4x,2y) e ∇g=(2x,2y). Assim obtemos as equações 4x=2λx e 2y=2λy junto com x2+y2=1.

Passo 3

Da equação 4x=2λx, se x≠0 então 4=2λ e λ=2. Substituindo em 2y=2λy vem 2y=4y ⇒ 2y=0 ⇒ y=0. Com x2+y2=1 temos x=±1. Nos pontos (1,0) e (−1,0) calculamos f=2·1^2+0=2.

Passo 4

Da equação 2y=2λy, se y≠0 então 2=2λ e λ=1. Substituindo em 4x=2λx vem 4x=2x ⇒ 2x=0 ⇒ x=0. Com x2+y2=1 temos y=±1. Nos pontos (0,1) e (0,−1) calculamos f=2·0+y^2=1.

Passo 5

Comparação dos valores: em (0,±1) temos f=1, e em (±1,0) temos f=2. Portanto o mínimo na fronteira é 1 e o máximo é 2.

Resposta

Valor mínimo de f na fronteira: 1, nos pontos (0,1) e (0,−1). Valor máximo de f na fronteira: 2, nos pontos (1,0) e (−1,0).

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