Seja
definida em
.
2. (1 ponto) Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo e o valor mínimo de
na fronteira
e os pontos onde ocorrem esses valores.
2. (1 ponto) Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo e o valor mínimo de
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem a função f(x,y)=2x2+y2 e quer achar os extremos dela restrita à fronteira do disco D, ou seja, ao círculo x2+y2=1. O método será o dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a restrição g(x,y)=x2+y2−1=0 e aplicamos que ∇f=λ∇g. Calculamos os gradientes: ∇f=(4x,2y) e ∇g=(2x,2y). Assim obtemos as equações 4x=2λx e 2y=2λy junto com x2+y2=1.
Passo 3
Da equação 4x=2λx, se x≠0 então 4=2λ e λ=2. Substituindo em 2y=2λy vem 2y=4y ⇒ 2y=0 ⇒ y=0. Com x2+y2=1 temos x=±1. Nos pontos (1,0) e (−1,0) calculamos f=2·1^2+0=2.
Passo 4
Da equação 2y=2λy, se y≠0 então 2=2λ e λ=1. Substituindo em 4x=2λx vem 4x=2x ⇒ 2x=0 ⇒ x=0. Com x2+y2=1 temos y=±1. Nos pontos (0,1) e (0,−1) calculamos f=2·0+y^2=1.
Passo 5
Comparação dos valores: em (0,±1) temos f=1, e em (±1,0) temos f=2. Portanto o mínimo na fronteira é 1 e o máximo é 2.
Resposta
Valor mínimo de f na fronteira: 1, nos pontos (0,1) e (0,−1). Valor máximo de f na fronteira: 2, nos pontos (1,0) e (−1,0).