Considere a função
z=f(x, y)= 2 x y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Justifique o fato desta função ser contínua em R^2.

Passo 1

O enunciado define uma função em partes em
f(x,y)=2xy^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0)
Queremos mostrar que ela é contínua em todo R^2. Para isso, vamos usar o fato de que razões de funções contínuas são contínuas onde o denominador não é zero e, no ponto (0,0), provar que o limite coincide com o valor definido.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), o numerador 2xy^2 e o denominador x^2+y^2 são funções polinomiais (logo contínuas) e x^2+y^2neq0. Assim, f(x,y)=2xy^2x^2+y^2 é razão de funções contínuas com denominador não nulo, garantindo continuidade em todo o plano, exceto possivelmente em (0,0).

Passo 3

Para checar a continuidade em (0,0), precisamos verificar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)
Usando coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos
$$
f(r,\theta)=\frac{2(r\cos\theta)(r\sin\theta){2}}{r{2}}=2r\cos\theta\sin^{2}\theta.
f(r,theta)=2(rcostheta)(rsintheta)^2r^2=2rcosthetasin^2theta
|f(r,\theta)|\le2r\to0\quad(r\to0).
$$
Logo o limite é zero.

Passo 4

Como o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) é igual ao valor f(0,0)=0, concluímos que f é contínua em (0,0). Combinando com a continuidade fora da origem, a função é contínua em todo R^2.

Resposta

A função é contínua em todo R^2.

Exercícios relacionados