Considere a função
Justifique o fato desta função ser contínua em
.
Passo 1
O enunciado define uma função em partes em
Queremos mostrar que ela é contínua em todo
Passo 2
Para
, o numerador
e o denominador
são funções polinomiais (logo contínuas) e
. Assim,
é razão de funções contínuas com denominador não nulo, garantindo continuidade em todo o plano, exceto possivelmente em
.
Passo 3
Para checar a continuidade em
, precisamos verificar
Usando coordenadas polares
$$
f(r,\theta)=\frac{2(r\cos\theta)(r\sin\theta){2}}{r{2}}=2r\cos\theta\sin^{2}\theta.
|f(r,\theta)|\le2r\to0\quad(r\to0).
$$
Logo o limite é zero.
Logo o limite é zero.
Passo 4
Como o limite de
quando
é igual ao valor
, concluímos que
é contínua em
. Combinando com a continuidade fora da origem, a função é contínua em todo
.
Resposta
A função é contínua em todo
.