Seja
e
.
- (1 ponto) Determine a derivada direcional
de
em
na direção de
.
Passo 1
O exercício pede a derivada direcional de f em P₀ na direção u. O conteúdo aqui é derivada direcional e vamos precisar usar que Dᵤf(P₀)=∇f(P₀)·u, onde ∇f é o gradiente de f.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=sin(xy)+e^{x y^2}. Para isso lembramos que a derivada de sin(xy) em relação a x é cos(xy)·y e de e^{x y^2} em relação a x é e^{x y2}·(y2). De modo análogo para y obtemos:
Passo 3
Agora avaliamos essas parciais no ponto P₀=(0,π/2). Note que em P₀ temos x·y=0, cos(0)=1 e e^0=1. Logo:
Assim ∇f(P₀)=\bigl(π/2+π^2/4,,0\bigr).
Passo 4
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar de ∇f(P₀) com u=(√2/2,√2/2). Assim:
Resposta
D_{\vec u}f(P₀)=\Bigl(\tfrac{π}{2}+\tfrac{π^2}{4}\Bigr)\tfrac{√2}{2}