Seja f(x, y)=sin (x y)+e^x y^2 e P0=(0, pi / 2).
  1. (1 ponto) Determine a derivada direcional Du f(P0) de f em P0 na direção de u=(raiz22, raiz22).

Passo 1

O exercício pede a derivada direcional de f em P₀ na direção u. O conteúdo aqui é derivada direcional e vamos precisar usar que Dᵤf(P₀)=∇f(P₀)·u, onde ∇f é o gradiente de f.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=sin(xy)+e^{x y^2}. Para isso lembramos que a derivada de sin(xy) em relação a x é cos(xy)·y e de e^{x y^2} em relação a x é e^{x y2}·(y2). De modo análogo para y obtemos:
fx(x,y)=ycos(xy)+y^2,e^x y^2,
fy(x,y)=xcos(xy)+2xy,e^x y^2

Passo 3

Agora avaliamos essas parciais no ponto P₀=(0,π/2). Note que em P₀ temos x·y=0, cos(0)=1 e e^0=1. Logo:
fx(0,π/2)=π2+l(π2r)^2=π2+π^24,
fy(0,π/2)=0
Assim ∇f(P₀)=\bigl(π/2+π^2/4,,0\bigr).

Passo 4

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar de ∇f(P₀) com u=(√2/2,√2/2). Assim:
Dvec uf(P₀)=l(π2+π^24r)√22+0=l(π2+π^24r)√22

Resposta

D_{\vec u}f(P₀)=\Bigl(\tfrac{π}{2}+\tfrac{π^2}{4}\Bigr)\tfrac{√2}{2}

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