Considere a função de duas variáveis
. E seja
a curva de interseção do gráfico de
com o plano
.
(a) Determine o domínio de
.
(b) Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
(a) Determine o domínio de
(b) Determine a equação da reta tangente à curva
Passo 1
O enunciado dá a função
e define
como a curva de interseção do gráfico de
com o plano
. As perguntas são:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a equação da reta tangente à curva
no ponto .
Informações relevantes dadas:
e a curva
é a interseção do gráfico
com o plano
. O ponto onde queremos a reta tangente é
.
Passo 2
Para achar o domínio de
precisamos lembrar que a raiz quadrada está definida somente quando o radicando é não negativo. Ou seja, devemos ter
Isto é a condição que define o domínio.
Passo 3
Vamos manipular a desigualdade para uma forma mais reconhecível. Partimos de
Somando
a ambos os lados e dividindo por
obtemos
Agora separamos os termos:
Simplificando cada fração:
Passo 4
A desigualdade
é a equação de uma elipse (no caso a região interior e a fronteira da elipse) com centro na origem, semi-eixo em
de comprimento
e semi-eixo em
de comprimento
. Portanto o domínio
de
é
ou, equivalentemente,
Passo 5
Agora vamos à curva
. Como
é a interseção do gráfico
com o plano
, substituímos
na expressão de
. Assim para pontos de
temos
Logo a curva
pode ser descrita como o conjunto de pontos
com
satisfazendo
(isso garante existência da raiz).
Passo 6
Para achar a reta tangente a
em
é prático parametrizar a curva usando
como parâmetro. Definimos a curva paramétrica
O vetor tangente à curva, quando parametrizada por
, é a derivada
. Precisamos então calcular a derivada da componente
. Aqui usamos a regra da cadeia: se temos
, então
No nosso caso
e
. Portanto
Passo 7
Agora avaliamos a derivada no ponto
(pois o ponto dado tem coordenada
). Substituindo
em
temos
A derivada da componente
em relação ao parâmetro
é
, e a componente
é constante
então sua derivada é
. Assim o vetor tangente em
é
Passo 8
A reta tangente passa por
e tem direção
. Uma forma conveniente de escrever a equação da reta é a forma paramétrica com um parâmetro
. Tomando
tal que quando
estamos no ponto dado, obtemos
Isto é, as coordenadas da reta tangente são
(Se quiser, pode substituir
para relacionar com a coordenada
.)