Considere a função de duas variáveis f(x, y)=\sqrt{36-9 x^{2}-4 y^{2}}. E seja C a curva de interseção do gráfico de z=f(x, y) com o plano y=2.
(a) Determine o domínio de f(x, y).
(b) Determine a equação da reta tangente à curva C no ponto (1,2, \sqrt{11}).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{36-9x^{2}-4y^{2}} e define C como a curva de interseção do gráfico de z=f(x,y) com o plano y=2. As perguntas são:
  1. Determinar o domínio de f(x,y).
  2. Determinar a equação da reta tangente à curva C no ponto (1,2,\sqrt{11}).
Informações relevantes dadas:
f(x,y)=\sqrt{36-9x^{2}-4y^{2}}
e a curva C é a interseção do gráfico z=f(x,y) com o plano y=2. O ponto onde queremos a reta tangente é (1,2,\sqrt{11}).

Passo 2

Para achar o domínio de f precisamos lembrar que a raiz quadrada está definida somente quando o radicando é não negativo. Ou seja, devemos ter
36-9x^{2}-4y^{2}\ge 0.
Isto é a condição que define o domínio.

Passo 3

Vamos manipular a desigualdade para uma forma mais reconhecível. Partimos de
36-9x^{2}-4y^{2}\ge 0.
Somando 9x^{2}+4y^{2} a ambos os lados e dividindo por 36 obtemos
\frac{9x^{2}+4y^{2}}{36}\le 1.
Agora separamos os termos:
\frac{9x^{2}}{36}+\frac{4y^{2}}{36}\le 1.
Simplificando cada fração:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\le 1.

Passo 4

A desigualdade
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\le 1
é a equação de uma elipse (no caso a região interior e a fronteira da elipse) com centro na origem, semi-eixo em x de comprimento 2 e semi-eixo em y de comprimento 3. Portanto o domínio D de f é
D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\le 1\right\}
ou, equivalentemente,
D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 9x^{2}+4y^{2}\le 36\right\}.

Passo 5

Agora vamos à curva C. Como C é a interseção do gráfico z=f(x,y) com o plano y=2, substituímos y=2 na expressão de f. Assim para pontos de C temos
z=\sqrt{36-9x^{2}-4(2)^{2}}=\sqrt{36-9x^{2}-16}=\sqrt{20-9x^{2}}.
Logo a curva C pode ser descrita como o conjunto de pontos (x,2,\sqrt{20-9x^{2}}) com x satisfazendo 20-9x^{2}\ge 0 (isso garante existência da raiz).

Passo 6

Para achar a reta tangente a C em (1,2,\sqrt{11}) é prático parametrizar a curva usando x como parâmetro. Definimos a curva paramétrica
\mathbf{r}(x)=\bigl(x,\;2,\;\sqrt{20-9x^{2}}\bigr).
O vetor tangente à curva, quando parametrizada por x, é a derivada \mathbf{r}'(x). Precisamos então calcular a derivada da componente z(x)=\sqrt{20-9x^{2}}. Aqui usamos a regra da cadeia: se temos z(x)=\sqrt{u(x)}=u(x)^{1/2}, então
z'(x)=\frac{1}{2}u(x)^{-1/2}\cdot u'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
No nosso caso u(x)=20-9x^{2} e u'(x)=-18x. Portanto
z'(x)=\frac{-18x}{2\sqrt{20-9x^{2}}}=\frac{-9x}{\sqrt{20-9x^{2}}}.

Passo 7

Agora avaliamos a derivada no ponto x=1 (pois o ponto dado tem coordenada x=1). Substituindo x=1 em z'(x) temos
z'(1)=\frac{-9\cdot 1}{\sqrt{20-9\cdot 1^{2}}}=\frac{-9}{\sqrt{11}}.
A derivada da componente x em relação ao parâmetro x é 1, e a componente y é constante 2 então sua derivada é 0. Assim o vetor tangente em x=1 é
\mathbf{v}=\mathbf{r}'(1)=\left(1,\;0,\;-\frac{9}{\sqrt{11}}\right).

Passo 8

A reta tangente passa por (1,2,\sqrt{11}) e tem direção \mathbf{v}. Uma forma conveniente de escrever a equação da reta é a forma paramétrica com um parâmetro t. Tomando t tal que quando t=0 estamos no ponto dado, obtemos
\ell(t)=\bigl(1+t,\;2,\;\sqrt{11}-\frac{9}{\sqrt{11}}\,t\bigr).
Isto é, as coordenadas da reta tangente são
x=1+t,\qquad y=2,\qquad z=\sqrt{11}-\frac{9}{\sqrt{11}}\,t.
(Se quiser, pode substituir t=x-1 para relacionar com a coordenada x.)

Resposta

\text{Dom}(f)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\le 1\right\}
\text{Reta tangente: }\ell(t)=\bigl(1+t,\;2,\;\sqrt{11}-\tfrac{9}{\sqrt{11}}\,t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}

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