Sejam f(u, v) uma função de duas variáveis diferenciável e F(x, y) uma função de duas variáveis definida por
F(x, y)=f(\sin x, \cos y)
Sabendo que \frac{\partial f}{\partial u}(0,1)=\frac{\partial f}{\partial v}(0,1)=2, calcule \frac{\partial F}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial F}{\partial y}(0,0).

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as derivadas parciais \frac{\partial F}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial F}{\partial y}(0,0).
Informações dadas importantes:
  • F é definida por F(x,y)=f(\sin x,\cos y).
  • A função f(u,v) é diferenciável (isso permite usar a regra da cadeia).
  • Está dado que \frac{\partial f}{\partial u}(0,1)=2 e \frac{\partial f}{\partial v}(0,1)=2.
  • O ponto onde devemos avaliar é (x,y)=(0,0).

Passo 2

Vamos explicitar as funções internas que compõem F. Definimos
u(x,y)=\sin x,\qquad v(x,y)=\cos y,
de modo que
F(x,y)=f\big(u(x,y),v(x,y)\big)=f(\sin x,\cos y).
Antes de derivar, calcule o ponto (u,v) correspondente a (x,y)=(0,0):
u(0,0)=\sin 0=0,\qquad v(0,0)=\cos 0=1.
Ou seja, para avaliar as derivadas de F em (0,0) precisamos dos valores de \frac{\partial f}{\partial u} e \frac{\partial f}{\partial v} em (u,v)=(0,1), exatamente os valores fornecidos.

Passo 3

Agora a ferramenta principal: a regra da cadeia para derivadas parciais (explicada devagar). Se F(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) com f diferenciável e u,v diferenciáveis, então
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y),v(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) +\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x,y),v(x,y)\big)\cdot\frac{\partial v}{\partial x}(x,y),
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y),v(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) +\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x,y),v(x,y)\big)\cdot\frac{\partial v}{\partial y}(x,y).
Explicando cada termo: \frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y),v(x,y)\big) é a taxa de variação de f em relação a u avaliada no ponto (u,v) obtido a partir de (x,y); \frac{\partial u}{\partial x} é como u muda quando x muda, etc. A fórmula é a soma das contribuições de cada variável interna.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de u e v. Como u(x,y)=\sin x e v(x,y)=\cos y, temos (lembrando derivadas usuais de seno e cosseno):
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\cos x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=0
porque \sin x não depende de y;
\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=-\sin y,\qquad \frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=0
porque \cos y não depende de x.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na regra da cadeia obtemos fórmulas mais simples:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y),v(x,y)\big)\cdot\cos x
porque o termo com \frac{\partial v}{\partial x} é zero; e
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x,y),v(x,y)\big)\cdot(-\sin y)
porque o termo com \frac{\partial u}{\partial y} é zero.

Passo 6

Agora avaliamos em (x,y)=(0,0). Primeiro lembramos que u(0,0)=0 e v(0,0)=1. Então nas fórmulas acima substituímos:
\frac{\partial F}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial u}(0,1)\cdot\cos 0,
\frac{\partial F}{\partial y}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial v}(0,1)\cdot(-\sin 0).
Usando os valores dados \frac{\partial f}{\partial u}(0,1)=2 e \frac{\partial f}{\partial v}(0,1)=2, e sabendo \cos 0=1 e \sin 0=0, obtemos:
\frac{\partial F}{\partial x}(0,0)=2\cdot 1=2,
\frac{\partial F}{\partial y}(0,0)=2\cdot 0=0.

Passo 7

Interpretação curta para fixar: fisicamente, ao variar x em torno de 0 só se altera a primeira entrada u=\sin x de f, e essa alteração é multiplicada por \frac{\partial f}{\partial u}(0,1)=2 e por \cos 0 (derivada de \sin x em 0). Ao variar y em torno de 0 a variação da segunda entrada v=\cos y tem derivada nula em y=0 (porque -\sin 0=0), então a derivada de F em y naquele ponto é zero. Força, você mandou bem chegando até aqui!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(0,0)=2
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(0,0)=0

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