Sejam
uma função de duas variáveis diferenciável e
uma função de duas variáveis definida por
Sabendo que
, calcule
e
.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos as derivadas parciais
e
.
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
-
é definida por . - A função
é diferenciável (isso permite usar a regra da cadeia). - Está dado que
e . - O ponto onde devemos avaliar é
.
Passo 2
Vamos explicitar as funções internas que compõem
. Definimos
de modo que
Antes de derivar, calcule o ponto
correspondente a
:
Ou seja, para avaliar as derivadas de
em
precisamos dos valores de
e
em
, exatamente os valores fornecidos.
Passo 3
Agora a ferramenta principal: a regra da cadeia para derivadas parciais (explicada devagar). Se
com
diferenciável e
diferenciáveis, então
Explicando cada termo:
é a taxa de variação de
em relação a
avaliada no ponto
obtido a partir de
;
é como
muda quando
muda, etc. A fórmula é a soma das contribuições de cada variável interna.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais de
e
. Como
e
, temos (lembrando derivadas usuais de seno e cosseno):
porque
não depende de
;
porque
não depende de
.
Passo 5
Substituindo essas derivadas na regra da cadeia obtemos fórmulas mais simples:
porque o termo com
é zero; e
porque o termo com
é zero.
Passo 6
Agora avaliamos em
. Primeiro lembramos que
e
. Então nas fórmulas acima substituímos:
Usando os valores dados
e
, e sabendo
e
, obtemos:
Passo 7
Interpretação curta para fixar: fisicamente, ao variar
em torno de
só se altera a primeira entrada
de
, e essa alteração é multiplicada por
e por
(derivada de
em
). Ao variar
em torno de
a variação da segunda entrada
tem derivada nula em
(porque
), então a derivada de
em
naquele ponto é zero. Força, você mandou bem chegando até aqui!