A fórmula do tamanho do lote de Wilson em economia diz que a quantidade mais econômica Q de produtos para uma loja pedir é dada pela fórmula Q=\sqrt{\frac{2 K M}{h}}, onde K é o custo do pedido, M é o número de itens vendidos por semana e h é o custo semanal de manutenção de cada item. Se K=2, \quad M=20 e h=0,05, determine:
(a) para qual das variáveis K, M e h a sensibilidade de Q é maior? Justifique sua resposta usando diferenciais.
(b) a variação do número de itens vendidos por semana se Q e K aumentam 10 \% e o custo semanal de manutenção de cada item permanece constante.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do lote econômico
Q=\sqrt{\frac{2KM}{h}}
com os valores \;K=2,\; M=20,\; h=0,05\;. Ele pede duas coisas:
(a) Para qual das variáveis K, M e h a sensibilidade de Q é maior? Justifique usando diferenciais.
(b) Se Q e K aumentam 10\% e h permanece constante, qual é a variação de M (número de itens vendidos por semana)? Use diferenciais e, se for conveniente, dê a variação absoluta partindo de M=20.

Passo 2

O que são diferenciais e por que usamos aqui: quando temos uma função Q(K,M,h) e as variáveis mudam um pouco, a variação pequena \mathrm{d}Q pode ser aproximada pelas derivadas parciais multiplicadas pelas variações das variáveis:
\mathrm{d}Q \approx \frac{\partial Q}{\partial K}\mathrm{d}K + \frac{\partial Q}{\partial M}\mathrm{d}M + \frac{\partial Q}{\partial h}\mathrm{d}h.
Essa aproximação é útil para medir sensibilidade: ela nos diz como Q responde a pequenas mudanças em K,M,h. Outra forma muito clara de ver sensibilidade percentual é trabalhar com diferenciais relativos (ou log-diferenciais): dividir a expressão acima por Q e obter uma relação entre variações percentuais. Vou tomar essa segunda via porque ela dá imediatamente a “sensibilidade percentual” (elasticidade).

Passo 3

Primeiro reescrevo Q de forma que fique explícita a dependência de potências:
Q=\sqrt{\frac{2KM}{h}}=\left(\frac{2}{h}\right)^{1/2}K^{1/2}M^{1/2}.
Agora tomo logaritmo natural e diferenciou (isso é só uma forma elegante de obter as elasticidades):
\ln Q=\tfrac{1}{2}\ln(2)-\tfrac{1}{2}\ln h + \tfrac{1}{2}\ln K + \tfrac{1}{2}\ln M.
Diferenciando ambos os lados (diferençais logarítmicos) obtemos
\frac{\mathrm{d}Q}{Q} = \tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}K}{K} + \tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}M}{M} - \tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}h}{h}.
Interpretação: uma pequena variação percentual em K de \frac{\mathrm{d}K}{K} causa aproximadamente uma variação percentual em Q igual a \tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}K}{K}; a mesma regra vale para M; uma variação percentual em h causa uma variação percentual em Q igual a -\tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}h}{h} (sinal negativo porque Q decresce quando h aumenta).

Passo 4

Usando a fórmula obtida, a sensibilidade percentual (elasticidade) de Q é:
E_{Q,K}=\frac{\partial \ln Q}{\partial \ln K}=\tfrac{1}{2},\qquad E_{Q,M}=\frac{\partial \ln Q}{\partial \ln M}=\tfrac{1}{2},\qquad E_{Q,h}=\frac{\partial \ln Q}{\partial \ln h}=-\tfrac{1}{2}.
Conclusão para (a): as magnitudes das sensibilidades são iguais para K, M e h (todas com módulo \tfrac{1}{2}), porém a variação de h afeta Q com sinal contrário (um aumento em h diminui Q). Portanto não há uma variável com sensibilidade maior em módulo — K, M e h têm a mesma sensibilidade percentual de Q (magnitude 1/2).

Passo 5

Agora (b). Partimos da relação de diferenciais relativa já escrita:
\frac{\mathrm{d}Q}{Q} = \tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}K}{K} + \tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}M}{M} - \tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}h}{h}.
Como h permanece constante, \mathrm{d}h=0. Além disso foi dado que Q aumenta 10\% e K aumenta 10\%. Em notação decimal percentual temos \frac{\mathrm{d}Q}{Q}=0,10 e \frac{\mathrm{d}K}{K}=0,10. Substituindo:
0,10 = \tfrac{1}{2}\cdot 0,10 + \tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}M}{M}.
Resolvo para \frac{\mathrm{d}M}{M}:
0,10 = 0,05 + \tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}M}{M} \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}M}{M} = 0,05 \quad\Rightarrow\quad \frac{\mathrm{d}M}{M} = 0,10.
Portanto M também aumenta 10\% (variação percentual de 0,10).
Para a variação absoluta, com M=20 inicialmente:
\Delta M \approx M\cdot\frac{\mathrm{d}M}{M} = 20\cdot 0,10 = 2.
Ou seja, o número de itens vendidos por semana sobe de 20 para aproximadamente 22 itens (aumenta em 2 itens/semana).

Resposta

(a) Todas têm a mesma sensibilidade percentual em módulo: E_{Q,K}=E_{Q,M}=\tfrac{1}{2} e E_{Q,h}=-\tfrac{1}{2} (mesma magnitude 1/2; h tem sinal oposto).\n(b) M aumenta 10\%; em termos absolutos, com M=20, o aumento é de 2 itens (passa para 22).

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