A fórmula do tamanho do lote de Wilson em economia diz que a quantidade mais econômica
de produtos para uma loja pedir é dada pela fórmula
, onde
é o custo do pedido,
é o número de itens vendidos por semana e
é o custo semanal de manutenção de cada item. Se
e
, determine:
(a) para qual das variáveis
e
a sensibilidade de
é maior? Justifique sua resposta usando diferenciais.
(b) a variação do número de itens vendidos por semana se
e
aumentam
e o custo semanal de manutenção de cada item permanece constante.
(a) para qual das variáveis
(b) a variação do número de itens vendidos por semana se
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do lote econômico
com os valores
. Ele pede duas coisas:
(a) Para qual das variáveis ,
e
a sensibilidade de
é maior? Justifique usando diferenciais.
(b) Se e
aumentam
e
permanece constante, qual é a variação de
(número de itens vendidos por semana)? Use diferenciais e, se for conveniente, dê a variação absoluta partindo de
.
(a) Para qual das variáveis
(b) Se
Passo 2
O que são diferenciais e por que usamos aqui: quando temos uma função
e as variáveis mudam um pouco, a variação pequena
pode ser aproximada pelas derivadas parciais multiplicadas pelas variações das variáveis:
Essa aproximação é útil para medir sensibilidade: ela nos diz como
responde a pequenas mudanças em
. Outra forma muito clara de ver sensibilidade percentual é trabalhar com diferenciais relativos (ou log-diferenciais): dividir a expressão acima por
e obter uma relação entre variações percentuais. Vou tomar essa segunda via porque ela dá imediatamente a “sensibilidade percentual” (elasticidade).
Passo 3
Primeiro reescrevo
de forma que fique explícita a dependência de potências:
Agora tomo logaritmo natural e diferenciou (isso é só uma forma elegante de obter as elasticidades):
Diferenciando ambos os lados (diferençais logarítmicos) obtemos
Interpretação: uma pequena variação percentual em
de
causa aproximadamente uma variação percentual em
igual a
; a mesma regra vale para
; uma variação percentual em
causa uma variação percentual em
igual a
(sinal negativo porque
decresce quando
aumenta).
Passo 4
Usando a fórmula obtida, a sensibilidade percentual (elasticidade) de
é:
Conclusão para (a): as magnitudes das sensibilidades são iguais para
,
e
(todas com módulo
), porém a variação de
afeta
com sinal contrário (um aumento em
diminui
). Portanto não há uma variável com sensibilidade maior em módulo —
,
e
têm a mesma sensibilidade percentual de
(magnitude
).
Passo 5
Agora (b). Partimos da relação de diferenciais relativa já escrita:
Como
permanece constante,
. Além disso foi dado que
aumenta
e
aumenta
. Em notação decimal percentual temos
e
. Substituindo:
Resolvo para
:
Portanto
também aumenta
(variação percentual de
).
Para a variação absoluta, com
inicialmente:
Ou seja, o número de itens vendidos por semana sobe de
para aproximadamente
itens (aumenta em 2 itens/semana).
Resposta
(a) Todas têm a mesma sensibilidade percentual em módulo:
e
(mesma magnitude
;
tem sinal oposto).\n(b)
aumenta
; em termos absolutos, com
, o aumento é de
itens (passa para
).