Considere a função .
(a) Encontre tal que: se a distância de a 1 for menor , se possa garantir que .
( isto é: se , então, )
(Faça o desenho do gráfico, se necessário).
(b) Mostre por definição que .
Passo 1
O enunciado define e pede em (a) um tal que se então , e em (b) mostrar, pela definição, que . O conteúdo é a definição - de limite de função.
Passo 2
Para controlar calculamos
Passo 3
Em (a) queremos |f(x)-5|<2. Usando o resultado do passo anterior, isso equivale a
3,|x-1| < 2
ou seja
|x-1| < 23
Logo podemos escolher
de<a = 23,
pois assim 0<|x-1|<de<a implica 3|x-1|<2 e, portanto, |f(x)-5|<2.
Passo 4
Em (b) aplicamos a definição: seja varepsilon>0. Para garantir |f(x)-5|<varepsilon basta exigir
3,|x-1| < varepsilon
ou seja
|x-1| < varepsilon3
Assim, escolhendo
de<a = varepsilon3,
temos que 0<|x-1|<de<a implica |f(x)-5|<varepsilon, o que mostra que limxto1f(x)=5.
Resposta
(a) Podemos tomar de<a = tfrac23.
(b) De fato, dado varepsilon>0, basta escolher de<a=tfracvarepsilon3 para garantir |f(x)-5|<varepsilon, logo limxto1f(x)=5.