Considere a função f(x)=3 x+2.
(a) Encontre de<a>0 tal que: se a distância de x a 1 for menor de<a, se possa garantir que |f(x)-5|<2.
( isto é: se 0<|x-1|<de<a, então, |f(x)-5|<2 )
(Faça o desenho do gráfico, se necessário).
(b) Mostre por definição que lim x 1 f(x)=5.

Passo 1

O enunciado define f(x)=3x+2 e pede em (a) um de<a>0 tal que se 0<|x-1|<de<a então |f(x)-5|<2, e em (b) mostrar, pela definição, que limxto1f(x)=5. O conteúdo é a definição varepsilon- de<a de limite de função.

Passo 2

Para controlar |f(x)-5| calculamos
|f(x)-5| = l|3x+2 - 5r| = l|3x - 3r| = 3,|x-1|

Passo 3

Em (a) queremos |f(x)-5|<2. Usando o resultado do passo anterior, isso equivale a
3,|x-1| < 2
ou seja
|x-1| < 23
Logo podemos escolher
de<a = 23,
pois assim 0<|x-1|<de<a implica 3|x-1|<2 e, portanto, |f(x)-5|<2.

Passo 4

Em (b) aplicamos a definição: seja varepsilon>0. Para garantir |f(x)-5|<varepsilon basta exigir
3,|x-1| < varepsilon
ou seja
|x-1| < varepsilon3
Assim, escolhendo
de<a = varepsilon3,
temos que 0<|x-1|<de<a implica |f(x)-5|<varepsilon, o que mostra que limxto1f(x)=5.

Resposta

(a) Podemos tomar de<a = tfrac23.
(b) De fato, dado varepsilon>0, basta escolher de<a=tfracvarepsilon3 para garantir |f(x)-5|<varepsilon, logo limxto1f(x)=5.

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