1. Determine os máximos e mínimos absolutos da função f(x, y)=2 x^3+y^2 confinada em x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis com restrição em contorno
f(x,y)=2x^3+y^2 sujeita a
x^2+y^2=1.
O conteúdo aqui é otimização de função com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Formamos o Lagrangeano
L(x,y,lambda)=2x^3+y^2-lambdal(x^2+y^2-1r)
e impomos as condições de estacionaridade
partialLpartial x=6x^2-2lambda x=0, partialLpartial y=2y-2lambda y=0, x^2+y^2=1

Passo 3

Resolvendo
6x^2-2lambda x=2x(3x-lambda)=0 e
2y(1-lambda)=0 junto com a restrição, temos os casos:
  1. x=0 e lambda=1 Rightarrow y^2=1, dá (0,1) e (0,-1).
  2. y=0 e x^2=1, dá (1,0) e (-1,0).
  3. lambda=1 e lambda=3x Rightarrow x=tfrac13 e y^2=1-tfrac19=tfrac89, dá l(tfrac13,pmtfrac2raiz23r).

Passo 4

Calculamos f em cada ponto crítico:
f(0,pm1)=0+1=1, f(1,0)=2cdot1^3+0=2, f(-1,0)=2cdot(-1)^3+0=-2, fl(tfrac13,pmtfrac2raiz23r) =2cdot127+89 =227+2427 =2627approx0,963

Passo 5

Comparando os valores obtidos,
o menor é -2 em (-1,0) e o maior é 2 em (1,0).

Resposta

O mínimo absoluto é f(-1,0)=-2.
O máximo absoluto é f(1,0)=2.

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