8-a) Mostre que a substituição u=y^primey transforma a equação linear geral homogênea de segunda ordem y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0 (*) na equação de Riccati associada de primeira ordem
d ud x+u^2+p(x) u+q(x)=0
b) Conclua que toda solução de (*) pode ser escrita na forma y(x)=C e^integral u(x) d x, onde u(x) é uma solução da equação (**).

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de segunda ordem
y''+p(x),y'+q(x),y=0 tag*
e pede para mostrar que, sob a substituição
u=y'y,
ela se transforma na equação de Riccati
dudx+u^2+p(x),u+q(x)=0 tag**
Para isso precisaremos usar a regra do quociente ao derivar u e depois relacionar com a equação original.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em u=y'/y temos
dudx =y'',y - y'^2y^2
Agora consideremos
dudx+u^2+p(x),u+q(x) =y''y - y'^2y^2+y'^2y^2+p(x),y'y+q(x)
Juntando termos sob um mesmo denominador:
dudx+u^2+p(x),u+q(x) =y''y - y'^2 + y'^2 + p(x)y'y + q(x)y^2y^2 =yl(y''+p(x)y'+q(x)yr)y^2
Mas pela equação original ,y''+p(x)y'+q(x)y=0, o numerador anula, de modo que
dudx+u^2+p(x),u+q(x)=0,
que é exatamente a equação de Riccati (**).

Passo 3

Da definição u=y'/y segue
y'y=u(x) Longrightarrow dyy=u(x),dx
Integrando ambos os lados:
integraldyy=integral u(x),dx Longrightarrow lnlvert yrvert = integral u(x),dx + C' Longrightarrow y(x)=C,e^integral u(x),dx,
onde C=e^C' é a constante de integração. Dessa forma toda solução de (*) pode ser escrita neste formato.

Resposta

A substituição u=y'/y leva à equação de Riccati
dudx+u^2+p(x),u+q(x)=0,
e então toda solução de
y''+p(x),y'+q(x),y=0
é dada por
y(x)=C,e^integral u(x),dx,
onde u(x) satisfaz a Riccati acima.

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