8-a) Mostre que a substituição
transforma a equação linear geral homogênea de segunda ordem
(*) na equação de Riccati associada de primeira ordem
b) Conclua que toda solução de (*) pode ser escrita na forma
, onde
é uma solução da equação (**).
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de segunda ordem
e pede para mostrar que, sob a substituição
ela se transforma na equação de Riccati
Para isso precisaremos usar a regra do quociente ao derivar
u e depois relacionar com a equação original.
Passo 2
Aplicando a regra do quociente em
u=y'/y temos
Agora consideremos
Juntando termos sob um mesmo denominador:
Mas pela equação original
,y''+p(x)y'+q(x)y=0 , o numerador anula, de modo que
que é exatamente a equação de Riccati (**).
Passo 3
Da definição
u=y'/y segue
Integrando ambos os lados:
onde
C=e^C' é a constante de integração. Dessa forma toda solução de
(*) pode ser escrita neste formato.
Resposta
A substituição
u=y'/y leva à equação de Riccati
e então toda solução de
é dada por
onde
u(x) satisfaz a Riccati acima.