Considere a função
Encontre a transformada de Laplace de f(t)=ll2 & , 0 <= t<1 t+2 & , 1 <= t<3 t & , 3 <= t<4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo do valor de $ t $. Nosso desafio é encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar entender como lidar com funções definidas por partes e usar a teoria das transformadas de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ f(t) $ usando funções degrau (funções de Heaviside). Isso facilita a aplicação da transformada de Laplace em funções que mudam de expressão em certos pontos.
A função dada é:
f(t)
Podemos reescrever isso como:
f(t) = 2 & , 0 <= t < 1 t + 2 & , 1 <= t < 3 t & , 3 <= t < 4
Mas vamos simplificar de forma mais clara:
f(t) = 2 cdot u(t) + (t + 2 - 2) cdot u(t - 1) + (t - (t + 2) ) cdot u(t - 3)
Aqui, $ u(t - a) $ é a função degrau que “liga” a partir de $ t = a $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada parte da função reescrita.
Lembrando que:
Lu(t - a) = e^-a ss
e
Lt cdot u(t - a) = e^-a ss^2
Aplicando isso na nossa função:
Lf(t) = L2 cdot u(t) + Lt cdot [u(t - 1) - u(t - 3)]

Passo 4

Calculando cada transformada separadamente:
  1. Para $ 2 \cdot u(t) $:
2 cdot u(t)
  1. Para $ t \cdot u(t - 1) $:
L2 cdot u(t) = 2s
  1. Para $ t \cdot u(t - 3) $:
t cdot u(t - 1)
Então, juntando tudo:
Lt cdot u(t - 1) = e^-ss^2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão final combinando os termos:
Lf(t) = 2s + e^-s - e^-3ss^2

Resposta

A transformada de Laplace de $ f(t) $ é:
f(t)

Exercícios relacionados