Considere a função
Encontre a transformada de Laplace de
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Encontre a transformada de Laplace de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo do valor de $ t $. Nosso desafio é encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar entender como lidar com funções definidas por partes e usar a teoria das transformadas de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(t) $ usando funções degrau (funções de Heaviside). Isso facilita a aplicação da transformada de Laplace em funções que mudam de expressão em certos pontos.
A função dada é:
Podemos reescrever isso como:
Mas vamos simplificar de forma mais clara:
Aqui, $ u(t - a) $ é a função degrau que “liga” a partir de $ t = a $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada parte da função reescrita.
Lembrando que:
e
Aplicando isso na nossa função:
Passo 4
Calculando cada transformada separadamente:
- Para $ 2 \cdot u(t) $:
- Para $ t \cdot u(t - 1) $:
- Para $ t \cdot u(t - 3) $:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão final combinando os termos:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) $ é: