Determine a representação em série de potências das seguintes funções e identifique seu intervalo de convergência:
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a representação em série de potências da função $ f(x) = \arctan x $ e descobrir para quais valores de $ x $ essa série funciona (chamamos isso de intervalo de convergência). Vamos usar a série de Taylor para resolver isso. A série de Taylor nos ajuda a escrever funções como somas infinitas de potências de $ x $, o que é muito útil em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para $ \arctan x $. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de 0 (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Mas, para $ \arctan x $, existe uma série conhecida que podemos usar diretamente.
Passo 3
A série de potências para $ \arctan x $ é conhecida e pode ser escrita como uma soma infinita onde cada termo envolve potências ímpares de $ x $ e alterna sinais. A fórmula é:
Aqui, $ n $ começa em 0 e vai até o infinito. Cada termo tem a forma $ \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n + 1} $, o que faz com que os sinais alternem e as potências de $ x $ sejam ímpares (1, 3, 5, …).
Passo 4
Agora, vamos verificar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão, que nos ajuda a encontrar para quais valores de $ x $ a série converge.
Consideramos o termo geral da série:
Aplicamos o teste da razão:
Substituindo $ a_{n+1} $ e $ a_n $:
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
Além disso, precisamos testar os pontos finais $ x = 1 $ e $ x = -1 $:
- Para $ x = 1 $:
Essa série converge pelo teste da Leibniz (série alternada com termos decrescentes e tendendo a zero).
- Para $ x = -1 $:
Essa também é uma série alternada que converge pelo mesmo motivo.
Resposta
A representação em série de potências de $ f(x) = \arctan x $ é
e o intervalo de convergência dessa série é $ |x| \leq 1 $.