Fincontre a transformada de Laplace inversa de F(s)=s(s^2-9)(s-4) u

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s)=s(s^2-9)(s-4). O conteúdo principal é frações parciais e uso da tabela básica L^-11/(s-a)=e^at.

Passo 2

Para decompor em frações parciais, escrevemos:
s(s^2-9)(s-4)=As-3+Bs+3+Cs-4
Multiplicamos ambos os lados por (s-3)(s+3)(s-4) e obtemos:
$$
s = A(s+3)(s-4)+B(s-3)(s-4)+C(s-3)(s+3)
$$

Passo 3

Para achar A,B,C, avaliamos em pontos convenientes:
  • Em s=3: 3 = A(6)(-1) A=-tfrac12
  • Em s=-3: -3 = B(-6)(-7) B=-tfrac114
  • Em s=4: 4 = C(1)(7) C=tfrac47

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa usando L^-11/(s-a)=e^at. Cada termo A/(s-3) vira A e^3t, etc.
Combinando, chegamos em
f(t)= -tfrac12 e^3t -tfrac114 e^-3t + tfrac47 e^4t

Resposta

f(t)=l(-tfrac12 e^3t -tfrac114e^-3t + tfrac47 e^4tr),u(t)

Exercícios relacionados