Considere a função
Expresse
em termos da função degrau unitária
.
Expresse
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é reescrever essa função usando a função degrau unitário $ u_c(t) $. Para isso, vamos usar conceitos de funções por partes e a função degrau para “ligar” e “desligar” partes da função em determinados pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função degrau unitário $ u_c(t) $. Essa função é definida assim:
Ela serve para “ativar” uma expressão a partir de um certo ponto $ c $. Por exemplo, $ u_1(t) $ é zero antes de $ t = 1 $ e passa a ser 1 a partir de $ t = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada intervalo da função $ f(t) $:
-
De 0 a 1: $ f(t) = 2 $
- Isso significa que, para $ t $ entre 0 e 1, a função é constante e igual a 2. Podemos representar isso simplesmente como $ 2 \cdot u_0(t) $, já que $ u_0(t) $ é 1 a partir de $ t = 0 $.
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De 1 a 3: $ f(t) = t + 2 $
- A partir de $ t = 1 $, a função muda para $ t + 2 $. Para representar essa mudança, usamos $ u_1(t) $, que ativa $ t + 2 $ a partir de $ t = 1 $. Mas precisamos subtrair a parte anterior para evitar sobreposição.
-
De 3 a 4: $ f(t) = t $
- A partir de $ t = 3 $, a função muda novamente para $ t $. Usamos $ u_3(t) $ para ativar essa parte e subtrair a parte anterior.
Passo 4
Vamos montar a expressão completa usando as funções degrau:
Simplificando cada termo:
- $ t + 2 - 2 = t $
- $ t - t - 2 = -2 $
Então, temos:
Resposta
A função $ f(t) $ expressa em termos da função degrau unitário é: