Considere a função
Expresse f(t)=ll2 & , 0 <= t<1 t+2 & , 1 <= t<3 t & , 3 <= t<4 em termos da função degrau unitária f(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
f(t) = 2, & 0 <= t < 1 t + 2, & 1 <= t < 3 t, & 3 <= t < 4
O objetivo é reescrever essa função usando a função degrau unitário $ u_c(t) $. Para isso, vamos usar conceitos de funções por partes e a função degrau para “ligar” e “desligar” partes da função em determinados pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função degrau unitário $ u_c(t) $. Essa função é definida assim:
uc(t)
Ela serve para “ativar” uma expressão a partir de um certo ponto $ c $. Por exemplo, $ u_1(t) $ é zero antes de $ t = 1 $ e passa a ser 1 a partir de $ t = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada intervalo da função $ f(t) $:
  1. De 0 a 1: $ f(t) = 2 $
    • Isso significa que, para $ t $ entre 0 e 1, a função é constante e igual a 2. Podemos representar isso simplesmente como $ 2 \cdot u_0(t) $, já que $ u_0(t) $ é 1 a partir de $ t = 0 $.
  2. De 1 a 3: $ f(t) = t + 2 $
    • A partir de $ t = 1 $, a função muda para $ t + 2 $. Para representar essa mudança, usamos $ u_1(t) $, que ativa $ t + 2 $ a partir de $ t = 1 $. Mas precisamos subtrair a parte anterior para evitar sobreposição.
  3. De 3 a 4: $ f(t) = t $
    • A partir de $ t = 3 $, a função muda novamente para $ t $. Usamos $ u_3(t) $ para ativar essa parte e subtrair a parte anterior.

Passo 4

Vamos montar a expressão completa usando as funções degrau:
f(t) = 2 cdot u0(t) + (t + 2 - 2) cdot u1(t) + (t - (t + 2)) cdot u3(t)
Simplificando cada termo:
  • $ t + 2 - 2 = t $
  • $ t - t - 2 = -2 $
Então, temos:
t + 2 - 2 = t

Resposta

A função $ f(t) $ expressa em termos da função degrau unitário é:
f(t)

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