Considere a função
Existe alguma escolha de
que torna
contínua em
? Justifique.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida da seguinte forma:
A pergunta é: Existe algum valor de
que faz com que essa função seja contínua em
? Para responder isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e analisar o comportamento da função perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor de
. Em fórmula:
No nosso caso,
, então precisamos ver se:
Se esse limite existir e for igual a algum valor
, então podemos tornar
contínua em
escolhendo esse
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite
. Aqui,
é um número complexo e
é o seu conjugado, ou seja, se
, então
.
Vamos reescrever a fração:
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por
(o conjugado do denominador):
Então,
Passo 4
Para que o limite exista, ele deve ter o mesmo valor independentemente do caminho pelo qual
se aproxima de 0. Vamos testar dois caminhos diferentes:
-
Aproximando-se pelo eixo real (
): Se, então:
Então,
.
-
Aproximando-se pelo eixo imaginário (
): Se, então:
Então,
.
Passo 5
Observamos que os limites ao se aproximar de caminhos diferentes são diferentes:
- Pelo eixo real, o limite é 1.
- Pelo eixo imaginário, o limite é -1.
Isso significa que o limite
não existe porque ele depende do caminho pelo qual
se aproxima de 0.
Passo 6
Como o limite não existe, não há um valor
que possa igualar esse limite para tornar a função contínua em
. A continuidade requer que o limite seja único e igual ao valor da função no ponto, o que não acontece aqui.
Resposta
Não, não existe nenhum valor de
que torne
contínua em
, pois o limite de
quando
se aproxima de zero não existe.