Considere a função
f(z)= zbarz & se z neq 0 w0 & se z=0
Existe alguma escolha de w0 que torna f contínua em z0=0? Justifique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida da seguinte forma:
f(z)= zbarz & se z neq 0 w0 & se z=0
A pergunta é: Existe algum valor de w0 que faz com que essa função seja contínua em z0 = 0 ? Para responder isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e analisar o comportamento da função perto de z = 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função f(z) é contínua em z0 se o limite de f(z) quando z se aproxima de z0 for igual ao valor de f(z0) . Em fórmula:
limz to z0 f(z) = f(z0)
No nosso caso, z0 = 0 , então precisamos ver se:
limz to 0 zbarz = w0
Se esse limite existir e for igual a algum valor w0 , então podemos tornar f(z) contínua em z = 0 escolhendo esse w0 .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite limz to 0 zbarz . Aqui, z é um número complexo e barz é o seu conjugado, ou seja, se z = x + iy , então barz = x - iy .
Vamos reescrever a fração:
zbarz = x + iyx - iy
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por x + iy (o conjugado do denominador):
(x + iy)(x + iy)(x - iy)(x + iy) = (x + iy)^2x^2 + y^2 = x^2 - y^2 + 2ixyx^2 + y^2
Então,
zbarz = x^2 - y^2x^2 + y^2 + i cdot 2xyx^2 + y^2

Passo 4

Para que o limite exista, ele deve ter o mesmo valor independentemente do caminho pelo qual z se aproxima de 0. Vamos testar dois caminhos diferentes:
  1. Aproximando-se pelo eixo real ( y = 0 ):
    Se y = 0 , então:
zbarz = x^2x^2 + i cdot 0x^2 = 1
Então, limx to 0 zbarz = 1 .
  1. Aproximando-se pelo eixo imaginário ( x = 0 ):
    Se x = 0 , então:
zbarz = -y^2y^2 + i cdot 0y^2 = -1
Então, limy to 0 zbarz = -1 .

Passo 5

Observamos que os limites ao se aproximar de caminhos diferentes são diferentes:
  • Pelo eixo real, o limite é 1.
  • Pelo eixo imaginário, o limite é -1.
Isso significa que o limite limz to 0 zbarz não existe porque ele depende do caminho pelo qual z se aproxima de 0.

Passo 6

Como o limite não existe, não há um valor w0 que possa igualar esse limite para tornar a função contínua em z = 0 . A continuidade requer que o limite seja único e igual ao valor da função no ponto, o que não acontece aqui.

Resposta

Não, não existe nenhum valor de w0 que torne f contínua em z0=0 , pois o limite de f(z) quando z se aproxima de zero não existe.

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